Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

En un estudio sobre bebidas energéticas, se ha determinado que el porcentaje de cafeína por lata sigue una distribución normal con una desviación típica de 0,45 %. Se ha tomado una muestra aleatoria de 120 latas de distintas marcas, y se ha encontrado que el valor promedio del porcentaje de cafeína por lata es de 8,75 %. [2,5 puntos]

a) Obtenga el intervalo de confianza del 95 % para el valor promedio del porcentaje de cafeína por lata. [1,25 puntos]

b) ¿Cuál es el número mínimo de latas que habría que considerar para que el error cometido al estimar el valor medio del porcentaje de cafeína por lata, con un nivel de confianza del 97 %, fuese de 0,1 %? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Obtenga el intervalo de confianza del 95 \% para el valor promedio del porcentaje de cafeína por lata. [1,25 puntos]}$

El porcentaje de cafeína sigue una distribución normal de desviación típica conocida, $\sigma=0{,}45$. Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N\left(\mu\,;\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ,\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Los datos de la muestra son $n=120$ y $\bar{x}=8{,}75$. Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $\alpha=0{,}05$, y la tabla da $z_{\alpha/2}=1{,}96$, porque $P(Z\leq1{,}96)=0{,}9750$.



$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{0{,}45}{\sqrt{120}}=0{,}041079$

$E=1{,}96\cdot0{,}041079=0{,}0805$

$(8{,}75-0{,}0805\ ,\ 8{,}75+0{,}0805)=(8{,}6695\ ,\ 8{,}8305)$

Con un nivel de confianza del 95 %, el porcentaje medio de cafeína por lata está entre $8{,}6695$ y $8{,}8305$.

$\textbf{b) ¿Cuál es el número mínimo de latas que habría que considerar para que el error cometido al estimar el valor medio del porcentaje de cafeína por lata, con un nivel de confianza del 97 \%, fuese de 0,1 \%? [1,25 puntos]}$

Se parte de la misma expresión del error y se despeja el tamaño muestral.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow\sqrt{n}=\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\Rightarrow n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}$

Ahora el nivel de confianza es del 97 %, de modo que $\alpha=0{,}03$ y se busca el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}985$.

$P(Z\leq2{,}17)=0{,}9850\Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



$n=\left(\dfrac{2{,}17\cdot0{,}45}{0{,}1}\right)^{2}=\left(9{,}765\right)^{2}=95{,}355$

Como el tamaño de la muestra tiene que ser entero y el error no puede superar el 0,1 %, se toma el entero inmediatamente superior.

$n\geq95{,}355\Rightarrow n=96$

Habría que considerar como mínimo 96 latas.