Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1}$: [2,5 puntos]

a) ¿En qué puntos es discontinua $f(x)$? ¿De qué tipo de discontinuidad se trata en cada caso? [0,75 puntos]

b) Identifique las asíntotas de la función. [1,25 puntos]

c) Esboce la gráfica de $f(x)$, indicando únicamente los puntos de discontinuidad, las asíntotas y los cortes con los ejes OX y OY. [0,5 puntos]

$\textbf{a) ¿En qué puntos es discontinua } \boldsymbol{f(x)}\textbf{? ¿De qué tipo de discontinuidad se trata en cada caso? [0,75 puntos]}$

La función es un cociente de polinomios, de modo que solo puede ser discontinua donde se anula el denominador.

$x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm1$

Se factorizan numerador y denominador para ver qué ocurre en cada uno.

$f(x)=\dfrac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-1}=\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)(x+1)}$

En $x=-1$ el factor $(x+1)$ se cancela, así que se calcula el límite.

$\lim_{x\to-1}f(x)=\lim_{x\to-1}\dfrac{x-3}{x-1}=\dfrac{-4}{-2}=2$

El límite existe y es finito, pero la función no está definida en ese punto: la discontinuidad en $x=-1$ es evitable.

En $x=1$ el numerador no se anula, de modo que se estudian los límites laterales.

$\lim_{x\to1^{-}}\dfrac{x-3}{x-1}=\dfrac{-2}{0^{-}}=+\infty$

$\lim_{x\to1^{+}}\dfrac{x-3}{x-1}=\dfrac{-2}{0^{+}}=-\infty$

La discontinuidad en $x=1$ es de salto infinito, es decir, inevitable de segunda especie.

$\textbf{b) Identifique las asíntotas de la función. [1,25 puntos]}$

Asíntota vertical: solo puede darse donde el límite es infinito, y por el apartado anterior eso ocurre únicamente en $x=1$.

$\lim_{x\to1}f(x)=\infty\Rightarrow x=1\ \text{es asíntota vertical}$

En $x=-1$ no hay asíntota, porque allí el límite es finito.

Asíntota horizontal: numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales.

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-1}=\dfrac{1}{1}=1$

La recta $y=1$ es asíntota horizontal, y por existir esta no hay asíntota oblicua.

La función tiene una asíntota vertical, $x=1$, y una asíntota horizontal, $y=1$.

$\textbf{c) Esboce la gráfica de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, indicando únicamente los puntos de discontinuidad, las asíntotas y los cortes con los ejes OX y OY. [0,5 puntos]}$

Se calculan primero los cortes con los ejes. El corte con OY se obtiene haciendo $x=0$.

$f(0)=\dfrac{-3}{-1}=3\Rightarrow(0,3)$

Para el corte con OX se anula el numerador de la expresión simplificada.

$x-3=0\Rightarrow x=3\Rightarrow(3,0)$

Fuera de $x=-1$ la función coincide con $\dfrac{x-3}{x-1}$, que es una hipérbola de asíntotas $x=1$ e $y=1$. En $x=-1$ la gráfica presenta un hueco, marcado con un círculo blanco, en el punto $(-1,2)$.