Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

Dada la función $f(x) = x^3 - 3x + 2$: [2,5 puntos]

a) Obtenga los puntos de corte con los ejes OX y OY. [0,5 puntos]

b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto]

c) Dibuje la región delimitada por la curva $y = f(x)$ y la recta $y = x + 2$. Calcule el área de esta región. [1 punto]

$\textbf{a) Obtenga los puntos de corte con los ejes OX y OY. [0,5 puntos]}$

El corte con el eje OY se obtiene haciendo $x=0$.

$f(0)=0^{3}-3\cdot0+2=2\Rightarrow(0,2)$

Para los cortes con el eje OX se anula la función. Se tantea $x=1$, que es raíz porque $1-3+2=0$, y se factoriza por Ruffini.

$x^{3}-3x+2=(x-1)\left(x^{2}+x-2\right)=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1)^{2}(x+2)$

$(x-1)^{2}(x+2)=0\Rightarrow\begin{cases}x=1\\ x=-2\end{cases}$

La gráfica corta al eje OY en $(0,2)$ y al eje OX en $(-2,0)$ y $(1,0)$; en este último la raíz es doble, de modo que la curva toca el eje sin atravesarlo.

$\textbf{b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto]}$

Se deriva la función y se anula la derivada para localizar los puntos críticos.

$f'(x)=3x^{2}-3$

$f'(x)=0\Rightarrow 3x^{2}=3\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm1$

Se estudia el signo de la derivada antes, entre y después de los dos puntos críticos.

$f'(-2)=12-3=9>0$

$f'(0)=-3<0$

$f'(2)=12-3=9>0$



La función crece en $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ y decrece en $(-1,1)$.

En $x=-1$ pasa de crecer a decrecer, luego hay un máximo relativo en $(-1,4)$; en $x=1$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo en $(1,0)$.

$\textbf{c) Dibuje la región delimitada por la curva } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{ y la recta } \boldsymbol{y = x + 2}\textbf{. Calcule el área de esta región. [1 punto]}$

Primero se buscan los puntos donde se cortan la curva y la recta, que son los límites de integración.

$x^{3}-3x+2=x+2\Rightarrow x^{3}-4x=0\Rightarrow x\left(x^{2}-4\right)=0$

$\begin{cases}x=-2\\ x=0\\ x=2\end{cases}$

Hay tres cortes, de modo que el recinto tiene dos trozos y hay que averiguar qué función va por encima en cada uno.

$\text{En }(-2,0):\ f(-1)-g(-1)=4-1=3>0\Rightarrow f\text{ va por encima}$

$\text{En }(0,2):\ f(1)-g(1)=0-3=-3<0\Rightarrow g\text{ va por encima}$



Se calcula cada trozo por separado, con la diferencia $f(x)-g(x)=x^{3}-4x$.

$A_{1}=\int_{-2}^{0}\left(x^{3}-4x\right)dx=\left[\dfrac{x^{4}}{4}-2x^{2}\right]_{-2}^{0}=0-\left(4-8\right)=4$

$A_{2}=\int_{0}^{2}\left(4x-x^{3}\right)dx=\left[2x^{2}-\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{2}=8-4=4$

$A=A_{1}+A_{2}=4+4=8\ \text{u}^{2}$

El área de la región delimitada por la curva y la recta es de 8 unidades de área.