Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una organización encargada de un evento deportivo tiene un presupuesto de 500 euros para adquirir material promocional. El material incluye banderas, camisetas y gorras. Los precios de cada artículo por unidad son de 5, 6 y 2 euros, respectivamente. La cantidad de camisetas debe ser la mitad de la cantidad de gorras, y la suma de banderas y camisetas debe ser 70. [2,5 puntos]

a) Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular las unidades que deben comprarse de cada artículo si se pretende agotar el presupuesto disponible. [0,9 puntos]

b) Analice la compatibilidad de dicho sistema. [0,8 puntos]

c) Resuélvalo. [0,8 puntos]

$\textbf{a) Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular las unidades que deben comprarse de cada artículo si se pretende agotar el presupuesto disponible. [0,9 puntos]}$

Se llama $x$ al número de banderas, $y$ al de camisetas y $z$ al de gorras, y se traducen a ecuaciones las tres condiciones del enunciado.

i) Se agota el presupuesto de 500 euros, a 5, 6 y 2 euros la unidad:

$5x+6y+2z=500$

ii) La cantidad de camisetas es la mitad de la de gorras:

$y=\dfrac{z}{2}\Rightarrow 2y-z=0$

iii) La suma de banderas y camisetas es 70:

$x+y=70$

El sistema pedido es

$\begin{cases}5x+6y+2z=500\\ 2y-z=0\\ x+y=70\end{cases}$

$\textbf{b) Analice la compatibilidad de dicho sistema. [0,8 puntos]}$

El sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas, así que se aplica el teorema de Rouché-Frobenius a partir del determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\begin{pmatrix}5&6&2\\ 0&2&-1\\ 1&1&0\end{pmatrix}$

Se desarrolla por la regla de Sarrus.

$|A|=\left(0-6+0\right)-\left(4+0-5\right)=-6+1=-5$

$|A|=-5\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible determinado: hay una única compra posible que agota el presupuesto.

$\textbf{c) Resuélvalo. [0,8 puntos]}$

Se resuelve por sustitución, aprovechando que la segunda ecuación da $z$ en función de $y$.

$z=2y$

Se sustituye en la primera ecuación:

$5x+6y+2\cdot2y=500\Rightarrow 5x+10y=500\Rightarrow x+2y=100$

Junto con la tercera ecuación queda un sistema de dos incógnitas:

$\begin{cases}x+2y=100\\ x+y=70\end{cases}$

Restando la segunda de la primera:

$y=30$

$x=70-30=40,\qquad z=2\cdot30=60$

Se comprueba el presupuesto: $5\cdot40+6\cdot30+2\cdot60=200+180+120=500$ euros.

Deben comprarse 40 banderas, 30 camisetas y 60 gorras.