Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Un profesor ha determinado que el tiempo que sus estudiantes tardan en completar un examen sigue una distribución normal con una desviación típica de 10 minutos. A partir de una muestra de 100 estudiantes seleccionados al azar, se calcula que el tiempo medio necesario para completar un examen es de 90 minutos. [2,5 puntos]

a) Calcule el intervalo de confianza del 93 % para el tiempo medio que los estudiantes tardan en completar un examen. [1,25 puntos]

b) ¿Cuál es el número mínimo de estudiantes que habría que considerar para que el error al estimar el tiempo medio empleado en completar un examen, con un nivel de confianza del 97 %, sea de 2 minutos? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule el intervalo de confianza del 93 \% para el tiempo medio que los estudiantes tardan en completar un examen. [1,25 puntos]}$

La variable tiempo sigue una distribución normal de desviación típica conocida, $\sigma=10$ minutos. Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N\left(\mu\,;\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ,\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Los datos de la muestra son $n=100$ y $\bar{x}=90$ minutos. Con un nivel de confianza del 93 % se tiene $\alpha=0{,}07$, y se busca en la tabla el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}965$.

$P(Z\leq1{,}81)=0{,}9649\Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}81$



$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}81\cdot\dfrac{10}{\sqrt{100}}=1{,}81\cdot1=1{,}81$

$(90-1{,}81\ ,\ 90+1{,}81)=(88{,}19\ ,\ 91{,}81)$

Con un nivel de confianza del 93 %, el tiempo medio que los estudiantes tardan en completar un examen está entre $88{,}19$ y $91{,}81$ minutos.

$\textbf{b) ¿Cuál es el número mínimo de estudiantes que habría que considerar para que el error al estimar el tiempo medio empleado en completar un examen, con un nivel de confianza del 97 \%, sea de 2 minutos? [1,25 puntos]}$

Se parte de la misma expresión del error y se despeja el tamaño muestral.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow\sqrt{n}=\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\Rightarrow n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}$

Ahora el nivel de confianza es del 97 %, de modo que $\alpha=0{,}03$ y se busca el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}985$.

$P(Z\leq2{,}17)=0{,}9850\Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



$n=\left(\dfrac{2{,}17\cdot10}{2}\right)^{2}=\left(10{,}85\right)^{2}=117{,}7225$

Como el tamaño de la muestra tiene que ser entero y el error no puede superar los 2 minutos, se toma el entero inmediatamente superior.

$n\geq117{,}7225\Rightarrow n=118$

Habría que considerar como mínimo 118 estudiantes.