Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Dada la función $f(x) = \dfrac{2x^2 + 4x + 2}{x - 2}$: [2,5 puntos]

a) Obtenga los puntos de corte con los ejes OX y OY. [0,25 puntos]

b) Identifique las asíntotas de la función. [1 punto]

c) Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Obtenga los puntos de corte con los ejes OX y OY. [0,25 puntos]}$

El dominio de la función lo forman todos los números reales salvo el que anula el denominador, es decir, $\text{Dom }f=\mathbb{R}-\{2\}$.

El corte con el eje OY se obtiene haciendo $x=0$.

$f(0)=\dfrac{2\cdot0^{2}+4\cdot0+2}{0-2}=\dfrac{2}{-2}=-1\Rightarrow(0,-1)$

Para el corte con el eje OX se anula el numerador, comprobando después que el denominador no se anula a la vez.

$2x^{2}+4x+2=0\Rightarrow x^{2}+2x+1=0\Rightarrow(x+1)^{2}=0\Rightarrow x=-1$

La gráfica corta al eje OY en $(0,-1)$ y al eje OX en $(-1,0)$, donde además la raíz es doble y la curva toca el eje sin atravesarlo.

$\textbf{b) Identifique las asíntotas de la función. [1 punto]}$

Asíntotas verticales: se buscan en los puntos que anulan el denominador sin anular el numerador.

$\lim_{x\to2}\dfrac{2x^{2}+4x+2}{x-2}=\dfrac{18}{0}=\infty$

La recta $x=2$ es asíntota vertical. Además:

$\lim_{x\to2^{-}}f(x)=-\infty,\qquad\lim_{x\to2^{+}}f(x)=+\infty$

Asíntota horizontal: no hay, porque el grado del numerador supera en una unidad al del denominador.

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^{2}+4x+2}{x-2}=\pm\infty$

Precisamente por esa diferencia de grados existe asíntota oblicua, que se obtiene efectuando la división.

$2x^{2}+4x+2=(x-2)(2x+8)+18$

$f(x)=2x+8+\dfrac{18}{x-2}$

Como el resto tiende a cero cuando $x\to\pm\infty$, la recta $y=2x+8$ es asíntota oblicua.

La función tiene una asíntota vertical, $x=2$, y una asíntota oblicua, $y=2x+8$; no tiene asíntota horizontal.

$\textbf{c) Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1,25 puntos]}$

Se deriva la función aplicando la regla del cociente y se anula la derivada.

$f'(x)=\dfrac{(4x+4)(x-2)-\left(2x^{2}+4x+2\right)}{(x-2)^{2}}$

$f'(x)=\dfrac{4x^{2}-4x-8-2x^{2}-4x-2}{(x-2)^{2}}=\dfrac{2x^{2}-8x-10}{(x-2)^{2}}$

$f'(x)=\dfrac{2(x-5)(x+1)}{(x-2)^{2}}$

$f'(x)=0\Rightarrow(x-5)(x+1)=0\Rightarrow\begin{cases}x=5\\ x=-1\end{cases}$

Como el denominador es un cuadrado, el signo de $f'$ es el del numerador. Se estudia ese signo antes, entre y después de los puntos críticos, sin olvidar que $x=2$ no pertenece al dominio.

$f'(-2)=\dfrac{2(-7)(-1)}{16}>0$

$f'(0)=\dfrac{2(-5)(1)}{4}<0$

$f'(6)=\dfrac{2(1)(7)}{16}>0$



La función crece en $(-\infty,-1)\cup(5,+\infty)$ y decrece en $(-1,2)\cup(2,5)$.

En $x=-1$ pasa de crecer a decrecer, luego hay un máximo relativo en $(-1,0)$; en $x=5$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo en $(5,24)$, porque $f(5)=\dfrac{50+20+2}{3}=24$.