Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Dada la función $f(x) = \begin{cases} ax + 2 & \text{si } x \leq -1 \\[1ex] x^2 - 3x + 5 & \text{si } -1 < x \leq 3 \\[1ex] \dfrac{x - b}{x^2 + 1} & \text{si } x > 3 \end{cases}$: [2,5 puntos]

a) Determine los valores de los parámetros $a$ y $b$ para los cuales la función es continua en todo su dominio. [1,5 puntos]

b) Calcule la integral definida $I = \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx$. [1 punto]

$\textbf{a) Determine los valores de los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para los cuales la función es continua en todo su dominio. [1,5 puntos]}$

Los tres trozos son funciones continuas en su intervalo: los dos primeros son polinómicas y el tercero un cociente cuyo denominador $x^{2}+1$ no se anula nunca. Los únicos puntos donde puede fallar la continuidad son $x=-1$ y $x=3$, donde cambia la definición.

Se impone la continuidad en $x=-1$ igualando los dos límites laterales.

$\lim_{x\to-1^{-}}f(x)=a(-1)+2=-a+2$

$\lim_{x\to-1^{+}}f(x)=(-1)^{2}-3(-1)+5=1+3+5=9$

$-a+2=9\Rightarrow a=-7$

Se impone ahora la continuidad en $x=3$.

$\lim_{x\to3^{-}}f(x)=3^{2}-3\cdot3+5=9-9+5=5$

$\lim_{x\to3^{+}}f(x)=\dfrac{3-b}{3^{2}+1}=\dfrac{3-b}{10}$

$\dfrac{3-b}{10}=5\Rightarrow 3-b=50\Rightarrow b=-47$

La función es continua en todo su dominio para $a=-7$ y $b=-47$.

$\textbf{b) Calcule la integral definida } \boldsymbol{I=\int_{0}^{2}f(x)\,dx}\textbf{. [1 punto]}$

Todo el intervalo de integración $[0,2]$ está contenido en $-1<x\leq3$, de modo que en él la función vale $f(x)=x^{2}-3x+5$ y no hace falta partir la integral.

$I=\int_{0}^{2}\left(x^{2}-3x+5\right)dx$

$\int\left(x^{2}-3x+5\right)dx=\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{3x^{2}}{2}+5x+C$

Aplicando la regla de Barrow:

$I=\left[\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{3x^{2}}{2}+5x\right]_{0}^{2}=\left(\dfrac{8}{3}-6+10\right)-0$

$I=\dfrac{8}{3}+4=\dfrac{8+12}{3}=\dfrac{20}{3}$

El valor de la integral definida es $I=\dfrac{20}{3}\approx6{,}67$.