Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

La editorial «EcoReads», comprometida con la sostenibilidad ambiental, planea lanzar dos colecciones de libros: una de guías prácticas sobre sostenibilidad y una colección de libros de cocina vegetariana. Cada guía práctica genera un beneficio de 5 € y cada libro de cocina vegetariana aporta un beneficio de 4 €. Para la producción de estos libros, la editorial emplea dos tipos de papel ecológico: papel reciclado de alta calidad y papel de fibras de bambú. La impresión de una guía requiere 60 g de papel reciclado y 20 g de papel de bambú, mientras que cada libro de cocina vegetariana necesita 70 g de papel reciclado y 10 g de papel de bambú. La editorial tiene a su disposición 4000 g de papel reciclado y 800 g de papel de bambú para su próxima producción. Además, para garantizar una diversificación del catálogo, la editorial decide que se deben publicar al menos 10 libros de cocina vegetariana. [2,5 puntos]

a) Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema. [0,75 puntos]

b) Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices. [1 punto]

c) ¿Cuántos ejemplares de cada colección debería publicar la editorial para maximizar sus beneficios? [0,5 puntos]

d) ¿A cuánto asciende dicho beneficio? [0,25 puntos]

$\textbf{a) Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema. [0,75 puntos]}$

Se llama $x$ al número de guías prácticas e $y$ al número de libros de cocina vegetariana que se publican.

Se ordena en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Reciclado (g)}$	$\text{Bambú (g)}$	$\text{Beneficio (€)}$
Guías (x)	60x	20x	5x
Libros de cocina (y)	70y	10y	4y
Totales	60x + 70y	20x + 10y	5x + 4y

La función objetivo que se desea maximizar es el beneficio:

$B(x,y)=5x+4y$

Las restricciones del problema son:

Se dispone de 4000 g de papel reciclado $\Rightarrow$ $60x+70y\leq4000$, que dividida entre 10 queda $6x+7y\leq400$.

Se dispone de 800 g de papel de bambú $\Rightarrow$ $20x+10y\leq800$, que dividida entre 10 queda $2x+y\leq80$.

Se deben publicar al menos 10 libros de cocina $\Rightarrow$ $y\geq10$.

El número de guías no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\geq0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} 6x+7y\leq400\\ 2x+y\leq80\\ y\geq10\\ x\geq0 \end{cases}$

$\textbf{b) Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices. [1 punto]}$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones que forman las rectas que se cortan en cada uno de ellos.

Vértice $A$:

$\begin{cases}y=10\\ x=0\end{cases}\Rightarrow A(0,10)$

Vértice $B$:

$\begin{cases}y=10\\ 2x+y=80\end{cases}\Rightarrow 2x=70\Rightarrow x=35\Rightarrow B(35,10)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}2x+y=80\\ 6x+7y=400\end{cases}\Rightarrow y=80-2x\Rightarrow 6x+7(80-2x)=400$

$-8x=-160\Rightarrow x=20\Rightarrow y=40\Rightarrow C(20,40)$

Vértice $D$:

$\begin{cases}6x+7y=400\\ x=0\end{cases}\Rightarrow 7y=400\Rightarrow y=\dfrac{400}{7}\Rightarrow D\left(0,\dfrac{400}{7}\right)$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $A(0,10)$, $B(35,10)$, $C(20,40)$ y $D\left(0,\dfrac{400}{7}\right)$.

$\textbf{c) ¿Cuántos ejemplares de cada colección debería publicar la editorial para maximizar sus beneficios? [0,5 puntos]}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo se alcanza en alguno de los vértices, así que se valora $B$ en los cuatro.

$B(0,10)=4\cdot10=40$

$B(35,10)=5\cdot35+4\cdot10=175+40=215$

$B(20,40)=5\cdot20+4\cdot40=100+160=260$

$B\left(0,\dfrac{400}{7}\right)=4\cdot\dfrac{400}{7}=\dfrac{1600}{7}\approx228{,}57$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $C(20,40)$, que además tiene las dos coordenadas enteras. Se comprueba que agota los dos tipos de papel:

$60\cdot20+70\cdot40=1200+2800=4000\ \text{g}$

$20\cdot20+10\cdot40=400+400=800\ \text{g}$

La editorial debería publicar 20 guías prácticas y 40 libros de cocina vegetariana.

$\textbf{d) ¿A cuánto asciende dicho beneficio? [0,25 puntos]}$

El beneficio máximo es el valor de la función objetivo en ese vértice.

$B(20,40)=260$

El beneficio asciende a 260 euros.