Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una empresa de jardinería necesita adquirir 300 kg de tierra, 200 kg de piedras decorativas y 100 kg de semillas para completar un proyecto de diseño de jardines. Al comparar precios entre dos proveedores, A y B, obtiene las siguientes ofertas: el proveedor A le ofrece un precio total de 13000 €. El proveedor B, que está ofreciendo descuentos por renovación de inventario, reduce el precio de la tierra a un tercio del ofrecido por el proveedor A, el de las piedras decorativas a la mitad, y el de las semillas a un quinto, resultando en un ahorro de 8800 € respecto al precio total ofrecido por el proveedor A. Además, se sabe que para el proveedor A, el precio por kg de semillas es dos veces la suma de los precios por kg de tierra y piedras decorativas. [2,5 puntos]

a) Plantee el sistema de ecuaciones que permita calcular el precio por kilogramo de la tierra, las piedras decorativas y las semillas en el proveedor A. [0,9 puntos]

b) Analice la compatibilidad de dicho sistema. [0,8 puntos]

c) Resuélvalo. [0,8 puntos]

$\textbf{a) Plantee el sistema de ecuaciones que permita calcular el precio por kilogramo de la tierra, las piedras decorativas y las semillas en el proveedor A. [0,9 puntos]}$

Se llama $x$ al precio por kilogramo de la tierra, $y$ al de las piedras decorativas y $z$ al de las semillas, todos en euros y referidos al proveedor A.

i) El proveedor A ofrece los 300 kg de tierra, los 200 kg de piedras y los 100 kg de semillas por 13000 €:

$300x+200y+100z=13000$

que dividida entre 100 queda $3x+2y+z=130$.

ii) El proveedor B cobra la tierra a $\dfrac{x}{3}$, las piedras a $\dfrac{y}{2}$ y las semillas a $\dfrac{z}{5}$, y su precio total es 8800 € menor, es decir, $13000-8800=4200$ €:

$300\cdot\dfrac{x}{3}+200\cdot\dfrac{y}{2}+100\cdot\dfrac{z}{5}=4200$

$100x+100y+20z=4200$

que dividida entre 20 queda $5x+5y+z=210$.

iii) El precio del kilogramo de semillas es el doble de la suma de los otros dos:

$z=2(x+y)\Rightarrow 2x+2y-z=0$

El sistema pedido es

$\begin{cases}3x+2y+z=130\\ 5x+5y+z=210\\ 2x+2y-z=0\end{cases}$

$\textbf{b) Analice la compatibilidad de dicho sistema. [0,8 puntos]}$

El sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas, así que se aplica el teorema de Rouché-Frobenius a partir del determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\begin{pmatrix}3&2&1\\ 5&5&1\\ 2&2&-1\end{pmatrix}$

Se desarrolla por la regla de Sarrus.

$|A|=\left(-15+4+10\right)-\left(10+6-10\right)=-1-6=-7$

$|A|=-7\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible determinado: los tres precios quedan determinados de forma única.

$\textbf{c) Resuélvalo. [0,8 puntos]}$

Se resuelve por reducción y sustitución. De la primera ecuación se despeja $z$:

$z=130-3x-2y$

Se sustituye en la tercera:

$2x+2y-(130-3x-2y)=0\Rightarrow 5x+4y=130$

Y en la segunda:

$5x+5y+130-3x-2y=210\Rightarrow 2x+3y=80$

Queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que se resuelve por reducción multiplicando la primera por 3 y la segunda por $-4$:

$\begin{cases}15x+12y=390\\ -8x-12y=-320\end{cases}$

$7x=70\Rightarrow x=10$

$2\cdot10+3y=80\Rightarrow 3y=60\Rightarrow y=20$

$z=130-30-40=60$

Se comprueba la tercera condición: $2(10+20)=60=z$.

En el proveedor A la tierra cuesta 10 €/kg, las piedras decorativas 20 €/kg y las semillas 60 €/kg.