Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Se sabe que el número de viajes realizados mensualmente por los usuarios de una línea de autobuses sigue una distribución normal con desviación estándar $\sigma = 5$. Para una muestra de 225 usuarios, seleccionados aleatoriamente, se obtiene una media de 21 viajes por mes. Realice las siguientes tareas: [3 puntos]

a) Calcule el intervalo de confianza del 93 % para la media de los viajes mensuales. [1,5 puntos]

b) Determine el tamaño mínimo necesario de la muestra para que el error en la estimación de dicha media, con un nivel de confianza del 97 %, sea de 1 viaje al mes. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule el intervalo de confianza del 93 \% para la media de los viajes mensuales. [1,5 puntos]}$

El número de viajes mensuales sigue una distribución normal de desviación típica conocida, $\sigma=5$. Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N\left(\mu\,;\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ,\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Los datos de la muestra son $n=225$ y $\bar{x}=21$ viajes. Con un nivel de confianza del 93 % se tiene $\alpha=0{,}07$, y se busca en la tabla el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}965$.

$P(Z\leq1{,}81)=0{,}9649\Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}81$



$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{5}{\sqrt{225}}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}$

$E=1{,}81\cdot\dfrac{1}{3}=0{,}6033$

$(21-0{,}6033\ ,\ 21+0{,}6033)=(20{,}3967\ ,\ 21{,}6033)$

Con un nivel de confianza del 93 %, el número medio de viajes mensuales está entre $20{,}3967$ y $21{,}6033$ viajes.

$\textbf{b) Determine el tamaño mínimo necesario de la muestra para que el error en la estimación de dicha media, con un nivel de confianza del 97 \%, sea de 1 viaje al mes. [1,5 puntos]}$

Se parte de la misma expresión del error y se despeja el tamaño muestral.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow\sqrt{n}=\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\Rightarrow n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}$

Ahora el nivel de confianza es del 97 %, de modo que $\alpha=0{,}03$ y se busca el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}985$.

$P(Z\leq2{,}17)=0{,}9850\Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



$n=\left(\dfrac{2{,}17\cdot5}{1}\right)^{2}=\left(10{,}85\right)^{2}=117{,}7225$

Como el tamaño de la muestra tiene que ser entero y el error no puede superar 1 viaje, se toma el entero inmediatamente superior.

$n\geq117{,}7225\Rightarrow n=118$

El tamaño mínimo necesario de la muestra es de 118 usuarios.