Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

Dada la función $f(x) = (x + 2)(x - 3)^2$, realice las siguientes tareas: [4 puntos]

a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función e identifique los extremos relativos. [1,5 puntos]

b) Estudie los puntos de corte de la gráfica de la función $f(x)$ con los ejes coordenados. A continuación, represente gráficamente $f(x)$ señalando dichos puntos de corte y los extremos relativos. [1 punto]

c) Calcule el área del recinto delimitado por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje de abscisas OX. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función e identifique los extremos relativos. [1,5 puntos]}$

La función es polinómica, de modo que es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$. Se desarrolla primero el producto para derivar con comodidad.

$f(x)=(x+2)(x-3)^{2}=(x+2)(x^{2}-6x+9)=x^{3}-4x^{2}-3x+18$

$f'(x)=3x^{2}-8x-3$

Se anula la derivada para localizar los puntos críticos.

$3x^{2}-8x-3=0\Rightarrow x=\dfrac{8\pm\sqrt{64+36}}{6}=\dfrac{8\pm10}{6}$

$\begin{cases}x=3\\ x=-\dfrac{1}{3}\end{cases}$

Se estudia el signo de $f'$ antes, entre y después de los dos puntos críticos.

$f'(-1)=3+8-3=8>0$

$f'(0)=-3<0$

$f'(4)=48-32-3=13>0$



La función crece en $\left(-\infty,-\dfrac{1}{3}\right)\cup(3,+\infty)$ y decrece en $\left(-\dfrac{1}{3},3\right)$.

En $x=-\dfrac{1}{3}$ la función pasa de crecer a decrecer, luego hay un máximo relativo; en $x=3$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo.

$f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\left(-\dfrac{1}{3}+2\right)\left(-\dfrac{1}{3}-3\right)^{2}=\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{100}{9}=\dfrac{500}{27}\approx18{,}52$

$f(3)=(3+2)(3-3)^{2}=0$

Hay un máximo relativo en $\left(-\dfrac{1}{3},\dfrac{500}{27}\right)$ y un mínimo relativo en $(3,0)$.

$\textbf{b) Estudie los puntos de corte de la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ con los ejes coordenados. A continuación, represente gráficamente } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ señalando dichos puntos de corte y los extremos relativos. [1 punto]}$

El corte con el eje OY se obtiene haciendo $x=0$.

$f(0)=(0+2)(0-3)^{2}=2\cdot9=18\Rightarrow(0,18)$

Los cortes con el eje OX se obtienen anulando la función, que ya está factorizada.

$(x+2)(x-3)^{2}=0\Rightarrow\begin{cases}x=-2\\ x=3\end{cases}$

La raíz $x=3$ es doble, de modo que en ese punto la gráfica toca el eje sin atravesarlo: es justo el mínimo relativo del apartado anterior.

La gráfica corta al eje OY en $(0,18)$ y al eje OX en $(-2,0)$ y $(3,0)$.



$\textbf{c) Calcule el área del recinto delimitado por la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y el eje de abscisas OX. [1,5 puntos]}$

El recinto que la curva encierra con el eje OX está limitado por sus dos raíces, $x=-2$ y $x=3$. Entre ellas la función es positiva, porque $(x-3)^{2}\geq0$ siempre y $x+2>0$ en todo el intervalo, así que la integral da directamente el área.

$A=\int_{-2}^{3}\left(x^{3}-4x^{2}-3x+18\right)dx$

$\int\left(x^{3}-4x^{2}-3x+18\right)dx=\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{4x^{3}}{3}-\dfrac{3x^{2}}{2}+18x+C$

Aplicando la regla de Barrow:

$A=\left[\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{4x^{3}}{3}-\dfrac{3x^{2}}{2}+18x\right]_{-2}^{3}$

$=\left(\dfrac{81}{4}-36-\dfrac{27}{2}+54\right)-\left(4+\dfrac{32}{3}-6-36\right)$

$=\dfrac{99}{4}-\left(-\dfrac{82}{3}\right)=\dfrac{297+328}{12}=\dfrac{625}{12}$

$A=\dfrac{625}{12}\approx52{,}08\ \text{u}^{2}$

El área del recinto es $\dfrac{625}{12}\approx52{,}08$ unidades de área.