Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un pastelero dispone de un máximo de 810 minutos para producir una serie de sobaos y quesadas. Para la elaboración de cada sobao se requieren 45 minutos y 200 gramos de mantequilla, y para la elaboración de cada quesada se requieren 90 minutos y 100 gramos de mantequilla. Por limitaciones logísticas, la cantidad total de sobaos y quesadas producidas no puede exceder de 11 unidades y se dispone únicamente de 1600 gramos de mantequilla. El beneficio que se obtiene por cada sobao es de 1,5 € y el que se obtiene por cada quesada es de 2 €. La intención del pastelero es maximizar el beneficio total. Realice las siguientes tareas: [3 puntos]

a) Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema. [1 punto]

b) Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices. [1 punto]

c) ¿Cuántos sobaos y cuántas quesadas se deben fabricar para maximizar el beneficio total? [0,75 puntos]

d) ¿A cuánto asciende dicho beneficio? [0,25 puntos]

$\textbf{a) Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema. [1 punto]}$

Se llama $x$ al número de sobaos e $y$ al número de quesadas que elabora el pastelero.

Se ordena en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Tiempo (min)}$	$\text{Mantequilla (g)}$	$\text{Beneficio (€)}$
Sobaos (x)	45x	200x	1,5x
Quesadas (y)	90y	100y	2y
Totales	45x + 90y	200x + 100y	1,5x + 2y

La función objetivo que se desea maximizar es el beneficio total:

$B(x,y)=1{,}5x+2y$

Las restricciones del problema son:

El pastelero dispone como máximo de 810 minutos $\Rightarrow$ $45x+90y\leq810$, que simplificado es $x+2y\leq18$.

Solo dispone de 1600 gramos de mantequilla $\Rightarrow$ $200x+100y\leq1600$, que simplificado es $2x+y\leq16$.

La producción total no puede exceder de 11 unidades $\Rightarrow$ $x+y\leq11$.

Las cantidades no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\geq0;\ y\geq0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x+2y\leq18\\ 2x+y\leq16\\ x+y\leq11\\ x\geq0;\ y\geq0 \end{cases}$

$\textbf{b) Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices. [1 punto]}$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones que forman las rectas que se cortan en cada uno de ellos.

Vértice $A$: es el origen, $A(0,0)$.

Vértice $B$:

$\begin{cases}2x+y=16\\ y=0\end{cases}\Rightarrow 2x=16\Rightarrow x=8\Rightarrow B(8,0)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}2x+y=16\\ x+y=11\end{cases}\Rightarrow x=16-11=5\Rightarrow y=6\Rightarrow C(5,6)$

Vértice $D$:

$\begin{cases}x+y=11\\ x+2y=18\end{cases}\Rightarrow y=18-11=7\Rightarrow x=4\Rightarrow D(4,7)$

Vértice $E$:

$\begin{cases}x+2y=18\\ x=0\end{cases}\Rightarrow 2y=18\Rightarrow y=9\Rightarrow E(0,9)$

La región factible es el pentágono de vértices $A(0,0)$, $B(8,0)$, $C(5,6)$, $D(4,7)$ y $E(0,9)$.

$\textbf{c) ¿Cuántos sobaos y cuántas quesadas se deben fabricar para maximizar el beneficio total? [0,75 puntos]}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo se alcanza en alguno de los vértices, así que se valora $B$ en los cinco.

$B(0,0)=0$

$B(8,0)=1{,}5\cdot8=12$

$B(5,6)=1{,}5\cdot5+2\cdot6=7{,}5+12=19{,}5$

$B(4,7)=1{,}5\cdot4+2\cdot7=6+14=20$

$B(0,9)=2\cdot9=18$

El mayor de los cinco valores se alcanza en el vértice $D(4,7)$. Se comprueba que esa producción agota el tiempo disponible y no pasa de la mantequilla:

$45\cdot4+90\cdot7=180+630=810\ \text{min}$

$200\cdot4+100\cdot7=800+700=1500\leq1600\ \text{g}$

Se deben elaborar 4 sobaos y 7 quesadas.

$\textbf{d) ¿A cuánto asciende dicho beneficio? [0,25 puntos]}$

El beneficio máximo es el valor de la función objetivo en ese vértice.

$B(4,7)=20$

El beneficio total asciende a 20 euros.