Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & a & 1 \\ 1 & 6 & 5 \end{pmatrix}$ y $N = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

Realice las siguientes tareas: [3 puntos]

a) Estudie para qué valores del parámetro $a$ la matriz $M$ tiene inversa. [1 punto]

b) Para $a = 1$, obtenga la matriz $X$ de la siguiente ecuación: $MX = 2N$. [2 puntos]

$\textbf{a) Estudie para qué valores del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{ la matriz } \boldsymbol{M}\textbf{ tiene inversa. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que se calcula $|M|$ y se ve cuándo se anula.

$|M|=\begin{vmatrix}1&0&a\\ 0&a&1\\ 1&6&5\end{vmatrix}$

Se desarrolla por la regla de Sarrus.

$|M|=\left(5a+0+0\right)-\left(a^{2}+6+0\right)=-a^{2}+5a-6$

$|M|=0\Rightarrow a^{2}-5a+6=0\Rightarrow a=\dfrac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\dfrac{5\pm1}{2}$

$\begin{cases}a=3\\ a=2\end{cases}$

La matriz $M$ tiene inversa para todo valor de $a$ distinto de $2$ y de $3$; para $a=2$ y para $a=3$ el determinante se anula y la matriz no es invertible.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a = 1}\textbf{, obtenga la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ de la siguiente ecuación: } \boldsymbol{MX = 2N}\textbf{. [2 puntos]}$

Para $a=1$ el determinante vale $|M|=-1+5-6=-2\neq0$, de modo que $M$ tiene inversa y se puede despejar $X$ multiplicando por la izquierda:

$MX=2N\Rightarrow M^{-1}MX=M^{-1}\cdot2N\Rightarrow X=2M^{-1}N$

Se calcula la inversa de $M$ por el método de los adjuntos.

$M=\begin{pmatrix}1&0&1\\ 0&1&1\\ 1&6&5\end{pmatrix}$

$\operatorname{Adj}(M)=\begin{pmatrix}-1&1&-1\\ 6&4&-6\\ -1&-1&1\end{pmatrix}$

$\left(\operatorname{Adj}(M)\right)^{t}=\begin{pmatrix}-1&6&-1\\ 1&4&-1\\ -1&-6&1\end{pmatrix}$

$M^{-1}=\dfrac{1}{|M|}\left(\operatorname{Adj}(M)\right)^{t}=-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-1&6&-1\\ 1&4&-1\\ -1&-6&1\end{pmatrix}$

Se calcula ahora el segundo miembro:

$2N=2\begin{pmatrix}1&0&1\\ 0&2&0\\ 1&-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0&2\\ 0&4&0\\ 2&-2&2\end{pmatrix}$

$X=M^{-1}\cdot2N=-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-1&6&-1\\ 1&4&-1\\ -1&-6&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2&0&2\\ 0&4&0\\ 2&-2&2\end{pmatrix}$

$X=-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-2-2&24+2&-2-2\\ 2-2&16+2&2-2\\ -2+2&-24-2&-2+2\end{pmatrix}=-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-4&26&-4\\ 0&18&0\\ 0&-26&0\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}2&-13&2\\ 0&-9&0\\ 0&13&0\end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado multiplicando: $MX=\begin{pmatrix}2&0&2\\ 0&4&0\\ 2&-2&2\end{pmatrix}=2N$.

La matriz buscada es $X=\begin{pmatrix}2&-13&2\\ 0&-9&0\\ 0&13&0\end{pmatrix}$.