Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

En un estudio sobre el tiempo semanal que los alumnos de Bachillerato dedican al ejercicio físico, se ha determinado que esta variable sigue una distribución normal con una desviación típica de 25 minutos. Se ha seleccionado una muestra aleatoria de 100 alumnos, obteniendo un promedio de 180 minutos. Realice las siguientes tareas: [3 puntos]

a) Calcule el intervalo de confianza del 93 % para el valor promedio del tiempo dedicado al ejercicio físico por semana. [1,5 puntos]

b) Determine el tamaño mínimo necesario de la muestra para que el error en la estimación de la media, con un nivel de confianza del 97,5 %, sea de 5 minutos. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule el intervalo de confianza del 93 \% para el valor promedio del tiempo dedicado al ejercicio físico por semana. [1,5 puntos]}$

La variable tiempo semanal sigue una distribución normal de desviación típica conocida, $\sigma=25$ minutos. Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N\left(\mu\,;\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ,\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Los datos de la muestra son $n=100$ y $\bar{x}=180$ minutos. Con un nivel de confianza del 93 % se tiene $\alpha=0{,}07$, y hay que buscar en la tabla el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}965$.

$P(Z\leq1{,}81)=0{,}9649\Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}81$



$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}81\cdot\dfrac{25}{\sqrt{100}}=1{,}81\cdot2{,}5=4{,}525$

$(180-4{,}525\ ,\ 180+4{,}525)=(175{,}475\ ,\ 184{,}525)$

Con un nivel de confianza del 93 %, el tiempo medio semanal dedicado al ejercicio físico está entre $175{,}475$ y $184{,}525$ minutos.

$\textbf{b) Determine el tamaño mínimo necesario de la muestra para que el error en la estimación de la media, con un nivel de confianza del 97,5 \%, sea de 5 minutos. [1,5 puntos]}$

Se parte de la misma expresión del error y se despeja el tamaño muestral.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow\sqrt{n}=\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\Rightarrow n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}$

Ahora el nivel de confianza es del 97,5 %, de modo que $\alpha=0{,}025$ y se busca en la tabla el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}9875$.

$P(Z\leq2{,}24)=0{,}9875\Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}24$



$n=\left(\dfrac{2{,}24\cdot25}{5}\right)^{2}=\left(11{,}2\right)^{2}=125{,}44$

Como el tamaño de la muestra tiene que ser entero y el error no puede superar los 5 minutos, se toma el entero inmediatamente superior.

$n\geq125{,}44\Rightarrow n=126$

El tamaño mínimo necesario de la muestra es de 126 alumnos.