Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Realice las siguientes tareas a partir de esta función. [4 puntos]

Dada la función $f(x) = \begin{cases} (x - 4)^2 - 4 & \text{si } x \leq 6 \\[1ex] 16 - (x - 10)^2 & \text{si } x > 6 \end{cases}$

a) Estudie la continuidad de la función $f(x)$. [1,5 puntos]

b) Estudie los puntos de corte de la gráfica de la función $f(x)$ con los ejes coordenados y realice un esbozo de la misma. [1 punto]

c) Calcule el área del recinto delimitado por la curva $f(x)$ y el eje de abscisas OX en el intervalo $[2, 6]$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Estudie la continuidad de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Los dos trozos son funciones polinómicas, continuas en todo $\mathbb{R}$, de modo que el único punto donde puede fallar la continuidad es $x=6$, donde cambia la definición. Se comprueban allí las tres condiciones de continuidad.

$f(6)=(6-4)^{2}-4=2^{2}-4=0$

$\lim_{x\to6^{-}}f(x)=\lim_{x\to6^{-}}\left[(x-4)^{2}-4\right]=0$

$\lim_{x\to6^{+}}f(x)=\lim_{x\to6^{+}}\left[16-(x-10)^{2}\right]=16-(-4)^{2}=16-16=0$

Los dos límites laterales existen, son finitos y coinciden entre sí y con el valor de la función:

$\lim_{x\to6^{-}}f(x)=\lim_{x\to6^{+}}f(x)=f(6)=0$

La función es continua en $x=6$ y, por tanto, es continua en todo $\mathbb{R}$.

$\textbf{b) Estudie los puntos de corte de la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ con los ejes coordenados y realice un esbozo de la misma. [1 punto]}$

El corte con el eje OY se obtiene haciendo $x=0$, que pertenece al primer trozo.

$f(0)=(0-4)^{2}-4=16-4=12\Rightarrow(0,12)$

Para los cortes con el eje OX se anula cada trozo dentro de su intervalo de definición.

$(x-4)^{2}-4=0\Rightarrow(x-4)^{2}=4\Rightarrow x-4=\pm2\Rightarrow\begin{cases}x=6\\ x=2\end{cases}$

Los dos cumplen $x\leq6$, así que los dos valen.

$16-(x-10)^{2}=0\Rightarrow(x-10)^{2}=16\Rightarrow x-10=\pm4\Rightarrow\begin{cases}x=14\\ x=6\end{cases}$

Aquí solo vale $x=14$, porque el otro no cumple $x>6$.

Para el esbozo basta observar que el primer trozo es una parábola de ramas hacia arriba con vértice en $(4,-4)$ y el segundo una parábola de ramas hacia abajo con vértice en $(10,16)$, y que las dos se pegan en el punto $(6,0)$.

La gráfica corta al eje OY en $(0,12)$ y al eje OX en $(2,0)$, $(6,0)$ y $(14,0)$.



$\textbf{c) Calcule el área del recinto delimitado por la curva } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y el eje de abscisas OX en el intervalo } \boldsymbol{[2, 6]}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Todo el intervalo $[2,6]$ queda dentro del primer trozo, así que la función que hay que integrar es $f(x)=(x-4)^{2}-4$. Sus dos raíces son precisamente $x=2$ y $x=6$, y entre ellas la parábola queda por debajo del eje, como confirma su vértice $(4,-4)$. La integral saldrá negativa y el área es su valor absoluto.

$A=\left|\int_{2}^{6}\left[(x-4)^{2}-4\right]dx\right|$

$\int\left[(x-4)^{2}-4\right]dx=\dfrac{(x-4)^{3}}{3}-4x+C$

Aplicando la regla de Barrow:

$\int_{2}^{6}\left[(x-4)^{2}-4\right]dx=\left[\dfrac{(x-4)^{3}}{3}-4x\right]_{2}^{6}$

$=\left(\dfrac{2^{3}}{3}-24\right)-\left(\dfrac{(-2)^{3}}{3}-8\right)=\left(\dfrac{8}{3}-24\right)-\left(-\dfrac{8}{3}-8\right)$

$=\dfrac{8}{3}-24+\dfrac{8}{3}+8=\dfrac{16}{3}-16=-\dfrac{32}{3}$

$A=\left|-\dfrac{32}{3}\right|=\dfrac{32}{3}\approx10{,}67\ \text{u}^{2}$

El área del recinto es $\dfrac{32}{3}\approx10{,}67$ unidades de área.