Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa fabrica dos tipos de envases: botellas de plástico y tuppers. Para su producción, dispone de 160 kg de plástico rígido y 100 kg de plástico flexible. Cada botella de plástico requiere 200 g de plástico rígido y 300 g de plástico flexible. Cada tupper requiere 400 g de plástico rígido y 100 g de plástico flexible. Además, la cantidad de tuppers fabricados no debe superar en más de 100 unidades a la cantidad de botellas producidas. El precio de venta de cada botella de plástico es de 5 euros, mientras que cada tupper se vende a 7 euros. Se pretende maximizar los ingresos. Realice las siguientes tareas: [3 puntos]

a) Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema. [1 punto]

b) Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices. [1 punto]

c) ¿Cuántos envases de cada tipo se deben fabricar para maximizar los ingresos? [0,75 puntos]

d) ¿A cuánto ascienden los ingresos obtenidos? [0,25 puntos]

$\textbf{a) Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema. [1 punto]}$

Se llama $x$ al número de botellas de plástico e $y$ al número de tuppers que se fabrican.

Se ordena en una tabla la información del enunciado, pasando los kilogramos disponibles a gramos para trabajar en la misma unidad que los consumos.

$$	$\text{Rígido (g)}$	$\text{Flexible (g)}$	$\text{Ingreso (€)}$
Botellas (x)	200x	300x	5x
Tuppers (y)	400y	100y	7y
Totales	200x + 400y	300x + 100y	5x + 7y

La función objetivo que se desea maximizar es el ingreso:

$I(x,y)=5x+7y$

Las restricciones del problema son:

Se dispone de 160 kg de plástico rígido, es decir, 160000 g $\Rightarrow$ $200x+400y\leq160000$, que simplificado es $x+2y\leq800$.

Se dispone de 100 kg de plástico flexible, es decir, 100000 g $\Rightarrow$ $300x+100y\leq100000$, que simplificado es $3x+y\leq1000$.

Los tuppers no superan en más de 100 unidades a las botellas $\Rightarrow$ $y\leq x+100$, es decir, $y-x\leq100$.

Las cantidades no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\geq0;\ y\geq0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x+2y\leq800\\ 3x+y\leq1000\\ y-x\leq100\\ x\geq0;\ y\geq0 \end{cases}$

$\textbf{b) Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices. [1 punto]}$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones que forman las rectas que se cortan en cada uno de ellos.

Vértice $A$: es el origen, intersección de los dos ejes, $A(0,0)$.

Vértice $B$:

$\begin{cases}3x+y=1000\\ y=0\end{cases}\Rightarrow 3x=1000\Rightarrow x=\dfrac{1000}{3}\Rightarrow B\left(\dfrac{1000}{3},0\right)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}3x+y=1000\\ x+2y=800\end{cases}\Rightarrow y=1000-3x\Rightarrow x+2(1000-3x)=800$

$-5x=-1200\Rightarrow x=240\Rightarrow y=1000-720=280\Rightarrow C(240,280)$

Vértice $D$:

$\begin{cases}x+2y=800\\ y-x=100\end{cases}\Rightarrow x=y-100\Rightarrow (y-100)+2y=800$

$3y=900\Rightarrow y=300\Rightarrow x=200\Rightarrow D(200,300)$

Vértice $E$:

$\begin{cases}y-x=100\\ x=0\end{cases}\Rightarrow y=100\Rightarrow E(0,100)$

La región factible es el pentágono de vértices $A(0,0)$, $B\left(\dfrac{1000}{3},0\right)$, $C(240,280)$, $D(200,300)$ y $E(0,100)$.

$\textbf{c) ¿Cuántos envases de cada tipo se deben fabricar para maximizar los ingresos? [0,75 puntos]}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo se alcanza en alguno de los vértices de la región factible, así que se valora $I$ en los cinco.

$I(0,0)=0$

$I\left(\dfrac{1000}{3},0\right)=5\cdot\dfrac{1000}{3}=\dfrac{5000}{3}\approx1666{,}67$

$I(240,280)=5\cdot240+7\cdot280=1200+1960=3160$

$I(200,300)=5\cdot200+7\cdot300=1000+2100=3100$

$I(0,100)=7\cdot100=700$

El mayor de los cinco valores se alcanza en el vértice $C(240,280)$, que además es una solución entera y por tanto realizable. Se comprueba que agota los dos materiales:

$200\cdot240+400\cdot280=48000+112000=160000\ \text{g}$

$300\cdot240+100\cdot280=72000+28000=100000\ \text{g}$

Se deben fabricar 240 botellas de plástico y 280 tuppers.

$\textbf{d) ¿A cuánto ascienden los ingresos obtenidos? [0,25 puntos]}$

Los ingresos máximos son el valor de la función objetivo en ese vértice.

$I(240,280)=3160$

Los ingresos obtenidos ascienden a 3160 euros.