Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una tienda gourmet prepara tres tipos de lotes para regalo: Lote Clásico a 20 euros, Lote Selección a 30 euros y Lote Premium a 45 euros. Un día concreto, la tienda vende un total de 33 lotes, obteniéndose unos ingresos de 855 euros. Además, se sabe que el número de Lotes Clásicos vendidos fue el triple que el número de Lotes Selección vendidos. Realice las tareas que se describen a continuación: [3 puntos]

a) Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular el número de lotes vendidos de cada tipo ese día. [1,2 puntos]

b) Analice la compatibilidad de dicho sistema. [1 punto]

c) Si se puede, calcule cuántos lotes de cada tipo (Clásico, Selección y Premium) se vendieron ese día; y si no se puede, justifique por qué. [0,8 puntos]

$\textbf{a) Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular el número de lotes vendidos de cada tipo ese día. [1,2 puntos]}$

Se llama $x$ al número de Lotes Clásicos vendidos, $y$ al de Lotes Selección y $z$ al de Lotes Premium, y se traducen a ecuaciones las tres condiciones del enunciado.

i) Ese día se vendieron 33 lotes en total:

$x+y+z=33$

ii) Los ingresos fueron de 855 euros, a 20, 30 y 45 euros el lote:

$20x+30y+45z=855$

iii) El número de Lotes Clásicos fue el triple que el de Lotes Selección:

$x=3y$

Ordenando las incógnitas, el sistema es

$\begin{cases}x+y+z=33\\ 20x+30y+45z=855\\ x-3y=0\end{cases}$

$\textbf{b) Analice la compatibilidad de dicho sistema. [1 punto]}$

El sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas, así que se aplica el teorema de Rouché-Frobenius a partir del determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\ 20&30&45\\ 1&-3&0\end{pmatrix}$

Se desarrolla por la regla de Sarrus.

$|A|=\left(0+45-60\right)-\left(30+0-135\right)=-15+105=90$

$|A|=90\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible determinado: tiene una única solución, de modo que el reparto de lotes queda completamente determinado.

$\textbf{c) Si se puede, calcule cuántos lotes de cada tipo (Clásico, Selección y Premium) se vendieron ese día; y si no se puede, justifique por qué. [0,8 puntos]}$

Como el sistema es compatible determinado, sí se puede. Se resuelve por sustitución, que aquí es más corto que Cramer, porque la tercera ecuación ya da $x$ en función de $y$.

$x=3y$

Se sustituye en la primera ecuación y se despeja $z$:

$3y+y+z=33\Rightarrow z=33-4y$

Se llevan las dos expresiones a la segunda ecuación:

$20\cdot3y+30y+45(33-4y)=855$

$60y+30y+1485-180y=855$

$-90y=-630\Rightarrow y=7$

$x=3\cdot7=21,\qquad z=33-4\cdot7=5$

Se comprueba el resultado en los ingresos: $20\cdot21+30\cdot7+45\cdot5=420+210+225=855$ euros.

Ese día se vendieron 21 Lotes Clásicos, 7 Lotes Selección y 5 Lotes Premium.