Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

El tiempo que los estudiantes de un instituto tardan en completar un examen sigue una distribución normal con una desviación típica de 10 minutos. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 estudiantes seleccionados al azar, y se ha calculado que el tiempo medio necesario para completar el examen es de 90 minutos. Realice las siguientes tareas: [3 puntos]

a) Calcule el intervalo de confianza del 95 % para el valor promedio del tiempo que los estudiantes tardan en completar el examen. [1,5 puntos]

b) ¿Cuál es el número mínimo de estudiantes que habría que considerar para que el error al estimar el tiempo medio empleado en completar el examen, con un nivel de confianza del 97 %, fuese de 2 minutos? [1,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule el intervalo de confianza del 95 \% para el valor promedio del tiempo que los estudiantes tardan en completar el examen. [1,5 puntos]}$

La variable tiempo sigue una distribución normal de desviación típica conocida, $\sigma=10$ minutos. Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N\left(\mu\,;\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ,\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Los datos de la muestra son $n=100$ y $\bar{x}=90$ minutos. Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $1-\alpha=0{,}95$, es decir $\alpha=0{,}05$, y la tabla de la N(0,1) da $z_{\alpha/2}=1{,}96$, porque $P(Z\leq1{,}96)=0{,}9750$.



$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot\dfrac{10}{\sqrt{100}}=1{,}96\cdot1=1{,}96$

$(90-1{,}96\ ,\ 90+1{,}96)=(88{,}04\ ,\ 91{,}96)$

Con un nivel de confianza del 95 %, el tiempo medio que los estudiantes tardan en completar el examen está entre $88{,}04$ y $91{,}96$ minutos.

$\textbf{b) ¿Cuál es el número mínimo de estudiantes que habría que considerar para que el error al estimar el tiempo medio empleado en completar el examen, con un nivel de confianza del 97 \%, fuese de 2 minutos? [1,5 puntos]}$

Se parte de la misma expresión del error y se despeja el tamaño muestral.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow\sqrt{n}=\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\Rightarrow n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}$

Ahora el nivel de confianza es del 97 %, de modo que $\alpha=0{,}03$ y hay que buscar en la tabla el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}985$.

$P(Z\leq2{,}17)=0{,}9850\Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



$n=\left(\dfrac{2{,}17\cdot10}{2}\right)^{2}=\left(10{,}85\right)^{2}=117{,}7225$

Como el tamaño de la muestra tiene que ser un número entero y el error no puede superar los 2 minutos, se toma el entero inmediatamente superior.

$n\geq117{,}7225\Rightarrow n=118$

Habría que considerar como mínimo 118 estudiantes.