Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2026

Realice las siguientes tareas a partir de esta función. [4 puntos]

Se considera la función real de variable real definida por:

$f(x) = \begin{cases} x^3 + ax^2 - 3x & \text{si } x \leq 2 \\[1ex] x^2 - 3x - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

a) Calcule el valor del parámetro $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en todo su dominio. Para el valor de $a$ obtenido, halle los puntos de corte de la gráfica con los ejes de coordenadas. [1,5 puntos]

b) Considerando el caso $a = -2$, calcule el área de la región delimitada por esta función, el eje de abscisas OX y las rectas verticales $x = 0$, $x = 2$. [1,5 puntos]

c) Considerando el caso $a = 0$, calcule los extremos relativos que tiene esta función en el intervalo $[-3, 2]$, especificando si son máximos o mínimos. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule el valor del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{ para que la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ sea continua en todo su dominio. Para el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ obtenido, halle los puntos de corte de la gráfica con los ejes de coordenadas. [1,5 puntos]}$

Los dos trozos son funciones polinómicas, continuas en todo $\mathbb{R}$, de modo que el único punto donde puede fallar la continuidad es $x=2$, donde cambia la definición. Se imponen allí las tres condiciones de continuidad.

$f(2)=\lim_{x\to2^{-}}f(x)=2^{3}+a\cdot2^{2}-3\cdot2=8+4a-6=2+4a$

$\lim_{x\to2^{+}}f(x)=2^{2}-3\cdot2-4=4-6-4=-6$

$2+4a=-6\Rightarrow 4a=-8\Rightarrow a=-2$

Con $a=-2$ la función es

$f(x)=\begin{cases}x^{3}-2x^{2}-3x & \text{si } x\leq2\\ x^{2}-3x-4 & \text{si } x>2\end{cases}$

Se buscan ahora los cortes con los ejes. El corte con el eje OY se obtiene haciendo $x=0$, que pertenece al primer trozo.

$f(0)=0^{3}-2\cdot0^{2}-3\cdot0=0\Rightarrow(0,0)$

Para los cortes con el eje OX se anula cada trozo dentro de su intervalo de definición.

$x^{3}-2x^{2}-3x=0\Rightarrow x\left(x^{2}-2x-3\right)=0\Rightarrow x(x-3)(x+1)=0$

$\begin{cases}x=0\\ x=-1\\ x=3\end{cases}$

Se descarta $x=3$ porque no cumple $x\leq2$, que es donde vale esa expresión.

$x^{2}-3x-4=0\Rightarrow(x-4)(x+1)=0\Rightarrow\begin{cases}x=4\\ x=-1\end{cases}$

Aquí se descarta $x=-1$ porque no cumple $x>2$.

La función es continua en todo su dominio para $a=-2$. Con ese valor, la gráfica corta al eje OY en $(0,0)$ y al eje OX en los puntos $(-1,0)$, $(0,0)$ y $(4,0)$.

$\textbf{b) Considerando el caso } \boldsymbol{a = -2}\textbf{, calcule el área de la región delimitada por esta función, el eje de abscisas OX y las rectas verticales } \boldsymbol{x = 0}\textbf{, } \boldsymbol{x = 2}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Todo el intervalo $[0,2]$ queda dentro del primer trozo, así que la función que hay que integrar es $f(x)=x^{3}-2x^{2}-3x$. Antes de integrar se estudia su signo, porque si el recinto queda por debajo del eje la integral sale negativa y el área es su valor absoluto.

$f(x)=x(x-3)(x+1)$

Si $0<x<2$, entonces $x>0$, $x-3<0$ y $x+1>0$, luego el producto es negativo. Por ejemplo, $f(1)=1-2-3=-4<0$.

$A=\left|\int_{0}^{2}\left(x^{3}-2x^{2}-3x\right)dx\right|$

$\int\left(x^{3}-2x^{2}-3x\right)dx=\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{2x^{3}}{3}-\dfrac{3x^{2}}{2}+C$

Aplicando la regla de Barrow:

$\int_{0}^{2}\left(x^{3}-2x^{2}-3x\right)dx=\left[\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{2x^{3}}{3}-\dfrac{3x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}$

$=\left(\dfrac{16}{4}-\dfrac{16}{3}-\dfrac{12}{2}\right)-0=4-\dfrac{16}{3}-6=-\dfrac{22}{3}$

$A=\left|-\dfrac{22}{3}\right|=\dfrac{22}{3}\approx7{,}33\ \text{u}^{2}$

El área de la región es $\dfrac{22}{3}\approx7{,}33$ unidades de área.



$\textbf{c) Considerando el caso } \boldsymbol{a = 0}\textbf{, calcule los extremos relativos que tiene esta función en el intervalo } \boldsymbol{[-3, 2]}\textbf{, especificando si son máximos o mínimos. [1 punto]}$

Todo el intervalo $[-3,2]$ está dentro del primer trozo, que con $a=0$ vale $f(x)=x^{3}-3x$. Se derivan y se anula la derivada para localizar los puntos críticos.

$f'(x)=3x^{2}-3$

$f'(x)=0\Rightarrow 3x^{2}-3=0\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm1$

Los dos puntos críticos pertenecen al intervalo. Para clasificarlos se usa la segunda derivada.

$f''(x)=6x$

$f''(-1)=-6<0\Rightarrow\text{máximo relativo}$

$f''(1)=6>0\Rightarrow\text{mínimo relativo}$

$f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)=-1+3=2$

$f(1)=1^{3}-3\cdot1=1-3=-2$

La función tiene un máximo relativo en el punto $(-1,2)$ y un mínimo relativo en el punto $(1,-2)$.