Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una agencia de marketing desea maximizar el impacto de su nueva campaña, medido en miles de visualizaciones, invirtiendo en dos tipos de publicidad: Instagram Stories y YouTube Pre-roll.

Los costes unitarios son de 500 € para Instagram y 1500 € para YouTube, contando con un presupuesto límite de 15000 €. Las condiciones de contratación exigen un total de al menos 10 anuncios, de los cuales como mínimo 4 deben ser de YouTube. Además, el número de anuncios de Instagram no puede exceder el doble de los de YouTube. Se estima que el impacto por unidad es de 1,5 miles de visualizaciones en Instagram y 3 miles en YouTube.

Realice las siguientes tareas: [3 puntos]

a) Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema. [1 punto]

b) Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices. [1 punto]

c) ¿Cuántos anuncios de cada tipo debe contratar la empresa para maximizar el impacto (número de visualizaciones)? [0,75 puntos]

d) ¿A cuánto ascendería dicho impacto máximo (en miles de visualizaciones)? [0,25 puntos]

$\textbf{a) Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema. [1 punto]}$

Se llama $x$ al número de anuncios contratados en Instagram Stories e $y$ al número de anuncios contratados en YouTube Pre-roll.

Se ordena en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Coste (€)}$	$\text{Impacto (miles)}$
Anuncios de Instagram (x)	500x	1,5x
Anuncios de YouTube (y)	1500y	3y
Totales	500x + 1500y	1,5x + 3y

La función objetivo que se desea maximizar es el impacto, medido en miles de visualizaciones:

$Z(x,y)=1{,}5x+3y$

Las restricciones del problema son:

El presupuesto no puede pasar de 15000 € $\Rightarrow$ $500x+1500y\leq15000$, que simplificado es $x+3y\leq30$.

Hay que contratar al menos 10 anuncios en total $\Rightarrow$ $x+y\geq10$.

Como mínimo 4 anuncios deben ser de YouTube $\Rightarrow$ $y\geq4$.

Los anuncios de Instagram no pueden exceder el doble de los de YouTube $\Rightarrow$ $x\leq2y$.

El número de anuncios no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\geq0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x+3y\leq30\\ x+y\geq10\\ y\geq4\\ x\leq2y\\ x\geq0 \end{cases}$

$\textbf{b) Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices. [1 punto]}$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones que forman las rectas que se cortan en cada uno de ellos.

Vértice $A$:

$\begin{cases}y=4\\ x+y=10\end{cases}\Rightarrow x=10-4=6\Rightarrow A(6,4)$

Vértice $B$:

$\begin{cases}y=4\\ x=2y\end{cases}\Rightarrow x=2\cdot4=8\Rightarrow B(8,4)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}x=2y\\ x+3y=30\end{cases}\Rightarrow 2y+3y=30\Rightarrow y=6\Rightarrow x=12\Rightarrow C(12,6)$

Vértice $D$:

$\begin{cases}x+y=10\\ x+3y=30\end{cases}\Rightarrow 2y=20\Rightarrow y=10\Rightarrow x=0\Rightarrow D(0,10)$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $A(6,4)$, $B(8,4)$, $C(12,6)$ y $D(0,10)$.

$\textbf{c) ¿Cuántos anuncios de cada tipo debe contratar la empresa para maximizar el impacto (número de visualizaciones)? [0,75 puntos]}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función objetivo sobre una región factible acotada se alcanza en alguno de sus vértices, así que basta valorar $Z$ en los cuatro.

$Z(6,4)=1{,}5\cdot6+3\cdot4=9+12=21$

$Z(8,4)=1{,}5\cdot8+3\cdot4=12+12=24$

$Z(12,6)=1{,}5\cdot12+3\cdot6=18+18=36$

$Z(0,10)=1{,}5\cdot0+3\cdot10=0+30=30$

El mayor de los cuatro valores se obtiene en el vértice $C(12,6)$. Se comprueba además que esa combinación agota exactamente el presupuesto:

$500\cdot12+1500\cdot6=6000+9000=15000\ \text{€}$

La empresa debe contratar 12 anuncios en Instagram Stories y 6 anuncios en YouTube Pre-roll.

$\textbf{d) ¿A cuánto ascendería dicho impacto máximo (en miles de visualizaciones)? [0,25 puntos]}$

El impacto máximo es el valor de la función objetivo en ese vértice.

$Z(12,6)=36$

El impacto máximo asciende a 36 miles de visualizaciones, es decir, 36000 visualizaciones.