Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$:

$\begin{cases} x + ay - z = 1 \\ 2x - y + az = 2 \\ x + y + z = 3 \end{cases}$

Realice las tareas que se describen a continuación: [3 puntos]

a) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro $a$. [2 puntos]

b) Resuelva el sistema de ecuaciones para $a = -2$. [1 punto]

$\textbf{a) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{. [2 puntos]}$

El sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas, así que se discute por el teorema de Rouché-Frobenius comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada.

$A=\begin{pmatrix}1&a&-1\\ 2&-1&a\\ 1&1&1\end{pmatrix},\qquad A^{*}=\begin{pmatrix}1&a&-1&1\\ 2&-1&a&2\\ 1&1&1&3\end{pmatrix}$

Se calcula el determinante de $A$ por la regla de Sarrus.

$|A|=\left(-1+a^{2}-2\right)-\left(1+a+2a\right)=a^{2}-3a-4$

$|A|=0\Rightarrow a^{2}-3a-4=0\Rightarrow a=\dfrac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\dfrac{3\pm5}{2}$

$\begin{cases}a=4\\ a=-1\end{cases}$

Si $a\neq-1$ y $a\neq4$, entonces $|A|\neq0$ y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible determinado y tiene solución única.

Se estudian ahora los dos valores que anulan el determinante. Para $a=4$:

$\begin{vmatrix}1&4\\ 2&-1\end{vmatrix}=-1-8=-9\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(A)=2$

Se orla ese menor con la columna de términos independientes.

$\begin{vmatrix}1&4&1\\ 2&-1&2\\ 1&1&3\end{vmatrix}=\left(-3+8+2\right)-\left(-1+2+24\right)=7-25=-18\neq0$

$\operatorname{ran}(A)=2\neq3=\operatorname{ran}(A^{*})\Rightarrow\text{sistema incompatible}$

Para $a=-1$ se repite el razonamiento:

$\begin{vmatrix}1&-1\\ 2&-1\end{vmatrix}=-1+2=1\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(A)=2$

$\begin{vmatrix}1&-1&1\\ 2&-1&2\\ 1&1&3\end{vmatrix}=\left(-3-2+2\right)-\left(-1+2-6\right)=-3+5=2\neq0$

$\operatorname{ran}(A)=2\neq3=\operatorname{ran}(A^{*})\Rightarrow\text{sistema incompatible}$

El sistema es compatible determinado para todo valor de $a$ distinto de $-1$ y de $4$, y es incompatible para $a=-1$ y para $a=4$. No hay ningún valor del parámetro que lo haga compatible indeterminado.

$\textbf{b) Resuelva el sistema de ecuaciones para } \boldsymbol{a = -2}\textbf{. [1 punto]}$

Para $a=-2$ el sistema es compatible determinado, según el apartado anterior, de modo que se resuelve por la regla de Cramer.

$\begin{cases}x-2y-z=1\\ 2x-y-2z=2\\ x+y+z=3\end{cases}$

$|A|=(-2)^{2}-3(-2)-4=4+6-4=6$

$|A_{x}|=\begin{vmatrix}1&-2&-1\\ 2&-1&-2\\ 3&1&1\end{vmatrix}=\left(-1+12-2\right)-\left(3-2-4\right)=9+3=12$

$|A_{y}|=\begin{vmatrix}1&1&-1\\ 2&2&-2\\ 1&3&1\end{vmatrix}=0$

Este último determinante se anula sin necesidad de desarrollarlo, porque la segunda fila es el doble de la primera.

$|A_{z}|=\begin{vmatrix}1&-2&1\\ 2&-1&2\\ 1&1&3\end{vmatrix}=\left(-3-4+2\right)-\left(-1+2-12\right)=-5+11=6$

$x=\dfrac{|A_{x}|}{|A|}=\dfrac{12}{6}=2,\qquad y=\dfrac{|A_{y}|}{|A|}=\dfrac{0}{6}=0,\qquad z=\dfrac{|A_{z}|}{|A|}=\dfrac{6}{6}=1$

Se comprueba la solución en la tercera ecuación: $2+0+1=3$.

Para $a=-2$ la única solución del sistema es $x=2$, $y=0$ y $z=1$.