Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cantabria · 2026

La actividad radiactiva de una muestra de $10^{21}$ átomos desciende al 40 % al cabo de 265 días. Calcule: [2,5 puntos]

a) La constante de desintegración de la muestra. [0,75 puntos]

b) El periodo de semidesintegración de la muestra. [0,75 puntos]

c) El tiempo que ha de transcurrir hasta que la actividad de la muestra sea de $10^{6}$ Bq. [1 punto]

$\textbf{a) La constante de desintegración de la muestra. [0,75 puntos]}$










La actividad de una muestra radiactiva decae exponencialmente según la ley de desintegración:

$A=A_0\,e^{-\lambda t}$





El enunciado dice que la actividad baja al $40\ \%$ de la inicial en $265$ días, es decir, $A=0{,}40\,A_0$:

$0{,}40\,A_0=A_0\,e^{-\lambda\cdot265}$

Se toman logaritmos neperianos y se despeja la constante de desintegración:

$\ln 0{,}40=-\lambda\cdot265\Rightarrow \lambda=\dfrac{\ln 2{,}5}{265}$

$\lambda=3{,}46\cdot10^{-3}\ \text{días}^{-1}$

En unidades del Sistema Internacional:

$\lambda=\dfrac{3{,}46\cdot10^{-3}}{24\cdot3600}=4{,}00\cdot10^{-8}\ \text{s}^{-1}$

$\textbf{b) El periodo de semidesintegración de la muestra. [0,75 puntos]}$

El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de los núcleos de la muestra, y se relaciona con la constante de desintegración por:

$T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$

$T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{3{,}46\cdot10^{-3}}=200{,}5\ \text{días}$

Es decir, poco más de medio año, unos $1{,}73\cdot10^{7}\ \text{s}$.

$\textbf{c) El tiempo que ha de transcurrir hasta que la actividad de la muestra sea de } \boldsymbol{10^{6}}\textbf{ Bq. [1 punto]}$

La actividad inicial es proporcional al número de núcleos presentes al principio:

$A_0=\lambda\,N_0=4{,}00\cdot10^{-8}\cdot10^{21}=4{,}00\cdot10^{13}\ \text{Bq}$

Se aplica de nuevo la ley de desintegración, ahora para llegar a $A=10^{6}\ \text{Bq}$:

$10^{6}=4{,}00\cdot10^{13}\,e^{-\lambda t}$

$\ln\dfrac{4{,}00\cdot10^{13}}{10^{6}}=\lambda t\Rightarrow t=\dfrac{\ln\left(4{,}00\cdot10^{7}\right)}{4{,}00\cdot10^{-8}}$

$t=4{,}37\cdot10^{8}\ \text{s}$

Han de transcurrir $4{,}37\cdot10^{8}\ \text{s}$, es decir, unos $5{,}06\cdot10^{3}$ días, algo menos de catorce años.