Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2026

Por una cuerda se propaga una onda cuya función matemática, en unidades SI, viene dada por:

$y(x,t) = 0{,}02\,\operatorname{sen}\left[\pi\left(\dfrac{4x}{3} + 200t\right)\right]$

a) Determine el sentido de propagación, la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y la velocidad de propagación de la onda. [1,5 puntos]

b) Calcule la elongación de un punto de la cuerda situado en $x = 3/4$ m en el instante $t = 1/240$ s. [0,5 puntos]

c) Calcule la velocidad transversal de dicho punto en ese instante. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Determine el sentido de propagación, la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y la velocidad de propagación de la onda. [1,5 puntos]}$

Se compara la función del enunciado con la ecuación general de una onda armónica que se propaga por una cuerda:

$y(x,t)=A\,\operatorname{sen}\left(kx+\omega t\right)$

$y(x,t)=0{,}02\,\operatorname{sen}\left(\dfrac{4\pi}{3}x+200\pi\,t\right)$

El signo positivo entre los dos términos de la fase indica que la onda se propaga en el sentido negativo del eje $X$. Identificando términos:

$A=0{,}02\ \text{m};\qquad k=\dfrac{4\pi}{3}\ \text{rad/m};\qquad \omega=200\pi\ \text{rad/s}$

De la constante de propagación se obtiene la longitud de onda:

$\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{4\pi/3}=1{,}5\ \text{m}$

De la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo:

$f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{200\pi}{2\pi}=100\ \text{Hz}$

$T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{100}=0{,}01\ \text{s}$

Y la velocidad de propagación:

$v=\lambda f=1{,}5\cdot100=150\ \text{m/s}$

La onda avanza hacia las $x$ negativas a $150\ \text{m/s}$, con una amplitud de $2\ \text{cm}$, una longitud de onda de $1{,}5\ \text{m}$ y un periodo de $10\ \text{ms}$.

$\textbf{b) Calcule la elongación de un punto de la cuerda situado en } \boldsymbol{x = 3/4}\textbf{ m en el instante } \boldsymbol{t = 1/240}\textbf{ s. [0,5 puntos]}$

Basta sustituir la posición y el instante en la función de onda:

$y\left(\dfrac34,\dfrac1{240}\right)=0{,}02\,\operatorname{sen}\left[\pi\left(\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac34+200\cdot\dfrac1{240}\right)\right]$

$y=0{,}02\,\operatorname{sen}\left[\pi\left(1+\dfrac56\right)\right]=0{,}02\,\operatorname{sen}\left(\dfrac{11\pi}{6}\right)$

$y=0{,}02\cdot(-0{,}5)=-0{,}01\ \text{m}$

En ese instante el punto está $1\ \text{cm}$ por debajo de la posición de equilibrio, es decir, a la mitad de la amplitud.



$\textbf{c) Calcule la velocidad transversal de dicho punto en ese instante. [0,5 puntos]}$

La velocidad transversal de un punto de la cuerda es la derivada de la elongación respecto del tiempo, manteniendo fija la posición:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=0{,}02\cdot200\pi\,\cos\left[\pi\left(\dfrac{4x}{3}+200t\right)\right]$

$v_y=4\pi\,\cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right)=4\pi\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}$

$v_y=10{,}9\ \text{m/s}$

La velocidad sale positiva, así que en ese instante el punto sube hacia la posición de equilibrio con una rapidez de $10{,}9\ \text{m/s}$. No debe confundirse con la velocidad de propagación de la onda, que es de $150\ \text{m/s}$ y va en la dirección del eje $X$.