Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Dos masas puntuales idénticas de valor $m_1 = m_2 = 10\ \text{kg}$ se encuentran situadas en los puntos $P_1(0,0)$ m y $P_2(0,10)$ m respectivamente del plano $xy$. [2,5 puntos]

a) Calcule y represente gráficamente el vector campo gravitatorio debido a las masas $m_1$ y $m_2$ en el punto $(5,5)$ m. [1 punto]

b) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio creado por $m_1$ y $m_2$ para transportar una masa puntual $m_3 = 1\ \text{kg}$ desde el punto $(5,5)$ m al punto $(0,5)$ m. [1 punto]

c) Razone brevemente el significado físico del signo del trabajo obtenido en el apartado b). [0,5 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule y represente gráficamente el vector campo gravitatorio debido a las masas } \boldsymbol{m_1}\textbf{ y } \boldsymbol{m_2}\textbf{ en el punto } \boldsymbol{(5,5)}\textbf{ m. [1 punto]}$










El campo gravitatorio que crea una masa puntual apunta siempre hacia ella:

$\vec g=-G\dfrac{m}{r^2}\,\vec u_r$

donde $\vec u_r$ es el vector unitario que va de la masa al punto considerado.





Se calculan primero las distancias desde cada masa hasta el punto $P(5,5)$ m:

$\overrightarrow{r_1}=(5,5)-(0,0)=(5,5)\ \text{m}\Rightarrow r_1=\sqrt{5^2+5^2}=7{,}07\ \text{m}$

$\overrightarrow{r_2}=(5,5)-(0,10)=(5,-5)\ \text{m}\Rightarrow r_2=7{,}07\ \text{m}$

Las dos distancias son iguales y las dos masas también, de modo que ambos campos tienen el mismo módulo:

$g_1=g_2=G\dfrac{m}{r^2}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{10}{50}=1{,}33\cdot10^{-11}\ \text{N/kg}$

Cada campo apunta desde $P$ hacia su masa, formando $45^\circ$ con la horizontal:

$\vec g_1=1{,}33\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{(-5,-5)}{7{,}07}=\left(-9{,}43\,\vec\imath-9{,}43\,\vec\jmath\right)\cdot10^{-12}\ \text{N/kg}$

$\vec g_2=1{,}33\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{(-5,5)}{7{,}07}=\left(-9{,}43\,\vec\imath+9{,}43\,\vec\jmath\right)\cdot10^{-12}\ \text{N/kg}$

Por el principio de superposición, el campo total es la suma vectorial de los dos:

$\vec g_P=\vec g_1+\vec g_2=-1{,}89\cdot10^{-11}\,\vec\imath\ \text{N/kg}$

Las componentes verticales se cancelan porque $P$ equidista de las dos masas, y el campo resultante es horizontal, de módulo $1{,}89\cdot10^{-11}\ \text{N/kg}$ y dirigido hacia el eje $Y$, tal y como muestra la figura.

$\textbf{b) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio creado por } \boldsymbol{m_1}\textbf{ y } \boldsymbol{m_2}\textbf{ para transportar una masa puntual } \boldsymbol{m_3 = 1\ \text{kg}}\textbf{ desde el punto } \boldsymbol{(5,5)}\textbf{ m al punto } \boldsymbol{(0,5)}\textbf{ m. [1 punto]}$

El campo gravitatorio es conservativo, así que el trabajo que realiza no depende del camino y se calcula con la diferencia de potencial entre los extremos:

$W=m_3\left(V_A-V_B\right)$

El potencial que crean las dos masas en un punto es la suma escalar de los que crea cada una:

$V=-G\left(\dfrac{m_1}{r_1}+\dfrac{m_2}{r_2}\right)$

En el punto de partida $A(5,5)$ m, con $r_1=r_2=7{,}07\ \text{m}$:

$V_A=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{2\cdot10}{7{,}07}=-1{,}89\cdot10^{-10}\ \text{J/kg}$

En el punto de llegada $B(0,5)$ m, que está sobre el segmento que une las dos masas y a $5\ \text{m}$ de cada una:

$V_B=-6{,}67\cdot10^{-11}\left(\dfrac{10}{5}+\dfrac{10}{5}\right)=-2{,}67\cdot10^{-10}\ \text{J/kg}$

Por tanto:

$W=1\cdot\left(-1{,}89\cdot10^{-10}+2{,}67\cdot10^{-10}\right)=7{,}81\cdot10^{-11}\ \text{J}$

El campo gravitatorio realiza un trabajo de $7{,}81\cdot10^{-11}\ \text{J}$ sobre la masa $m_3$ en ese desplazamiento.

$\textbf{c) Razone brevemente el significado físico del signo del trabajo obtenido en el apartado b). [0,5 puntos]}$

El trabajo sale positivo porque la masa se desplaza hacia una región de menor potencial gravitatorio, es decir, se acerca a las masas que la atraen. La fuerza y el desplazamiento forman un ángulo menor de $90^\circ$ y el campo empuja a $m_3$ a favor del movimiento.

Ese desplazamiento es espontáneo: no hace falta ningún agente externo, y la energía potencial que pierde la masa aparece como energía cinética.