Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Una sonda espacial de 500 kg describe una trayectoria circular de radio $r$ en torno a Marte, realizando una revolución cada 100 minutos. La energía mecánica de la sonda en órbita es $-3{,}16\cdot 10^{9}\ \text{J}$. [2,5 puntos]

a) Deduzca la expresión del periodo de la órbita de la sonda en función de la constante de gravitación universal $G$, de la masa de Marte $M_M$, y del radio de la órbita $r$. [1 punto]

b) Calcule el radio de la órbita de la sonda y la masa de Marte. [1,5 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Deduzca la expresión del periodo de la órbita de la sonda en función de la constante de gravitación universal } \boldsymbol{G}\textbf{, de la masa de Marte } \boldsymbol{M_M}\textbf{, y del radio de la órbita } \boldsymbol{r}\textbf{. [1 punto]}$










La única fuerza que actúa sobre la sonda es la atracción gravitatoria de Marte y, al ser la órbita circular, esa fuerza es la fuerza centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton junto con la ley de gravitación universal:

$G\dfrac{M_M\,m}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}$





Simplificando la masa de la sonda se obtiene la velocidad orbital:

$v^2=\dfrac{G\,M_M}{r}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{G\,M_M}{r}}$

Como el movimiento es circular y uniforme, la sonda recorre la circunferencia completa en un periodo:

$v=\dfrac{2\pi r}{T}$

Igualando ambas expresiones de la velocidad y despejando el periodo:

$\dfrac{4\pi^2r^2}{T^2}=\dfrac{G\,M_M}{r}\Rightarrow T^2=\dfrac{4\pi^2r^3}{G\,M_M}$

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G\,M_M}}$

Esta es la tercera ley de Kepler: el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del radio de la órbita.

$\textbf{b) Calcule el radio de la órbita de la sonda y la masa de Marte. [1,5 puntos]}$

En una órbita circular la energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial, y vale la mitad de la potencial:

$E=E_c+E_p=\dfrac12\,m v^2-G\dfrac{M_M\,m}{r}=-G\dfrac{M_M\,m}{2r}$

Como además $v^2=G M_M/r$, la energía mecánica se puede escribir en función de la velocidad:

$E=-\dfrac12\,m v^2\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{-2E}{m}}$

Se sustituyen los datos del enunciado, con el periodo en segundos:

$T=100\ \text{min}\cdot 60\ \dfrac{\text{s}}{\text{min}}=6000\ \text{s}$

$v=\sqrt{\dfrac{2\cdot 3{,}16\cdot10^{9}}{500}}=3{,}56\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

De la relación entre la velocidad y el periodo se despeja el radio:

$r=\dfrac{v\,T}{2\pi}=\dfrac{3{,}56\cdot10^{3}\cdot6000}{2\pi}=3{,}40\cdot10^{6}\ \text{m}$

Y con ese radio, la masa de Marte sale de la expresión deducida en el apartado a):

$M_M=\dfrac{4\pi^2r^3}{G\,T^2}=\dfrac{4\pi^2\cdot(3{,}40\cdot10^{6})^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6000^2}=6{,}43\cdot10^{23}\ \text{kg}$

La sonda describe una órbita de $3{,}40\cdot10^{6}\ \text{m}$ de radio, a $3{,}56\ \text{km/s}$, y la masa de Marte resulta ser de $6{,}43\cdot10^{23}\ \text{kg}$.