Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Cantabria · 2025

Se ilumina una superficie de aluminio, cuyo trabajo de extracción es $W_0 = 4{,}3\ \text{eV}$, con radiación monocromática de longitud de onda $2\cdot 10^{-7}\ \text{m}$. Calcule: [2,5 puntos]

a) La velocidad máxima de los electrones emitidos. [1 punto]

b) El potencial de frenado de los electrones emitidos. [0,75 puntos]

c) El rango de longitudes de onda para que se produzca efecto fotoeléctrico en el aluminio. [0,75 puntos]

Datos: $1\ \text{eV} = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{J}$; constante de Planck, $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$; masa del electrón, $m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) La velocidad máxima de los electrones emitidos. [1 punto]}$

Según la explicación de Einstein del efecto fotoeléctrico, cada fotón cede toda su energía a un electrón del metal: una parte se invierte en arrancarlo, el trabajo de extracción, y el resto queda como energía cinética del electrón emitido.

$E_{\text{fotón}}=W_0+E_{c,\max}$

La energía del fotón incidente vale:

$E_{\text{fotón}}=h\dfrac{c}{\lambda}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{2\cdot10^{-7}}=9{,}95\cdot10^{-19}\ \text{J}$

El trabajo de extracción, expresado en julios, es:

$W_0=4{,}3\ \text{eV}\cdot\dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{J}}{1\ \text{eV}}=6{,}88\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Por tanto, la energía cinética máxima de los electrones emitidos vale:

$E_{c,\max}=9{,}95\cdot10^{-19}-6{,}88\cdot10^{-19}=3{,}07\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Y de ella se despeja la velocidad máxima:

$E_{c,\max}=\dfrac12\,m_e\,v_{\max}^2\Rightarrow v_{\max}=\sqrt{\dfrac{2E_{c,\max}}{m_e}}$

$v_{\max}=\sqrt{\dfrac{2\cdot3{,}07\cdot10^{-19}}{9{,}1\cdot10^{-31}}}=8{,}21\cdot10^{5}\ \text{m/s}$



$\textbf{b) El potencial de frenado de los electrones emitidos. [0,75 puntos]}$

El potencial de frenado es la diferencia de potencial que hay que aplicar para detener a los electrones más rápidos, de modo que el trabajo eléctrico que se opone a su avance iguale a su energía cinética máxima:

$e\,V_0=E_{c,\max}\Rightarrow V_0=\dfrac{E_{c,\max}}{e}$

$V_0=\dfrac{3{,}07\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=1{,}92\ \text{V}$

Con $1{,}92\ \text{V}$ aplicados en sentido contrario, ni siquiera los electrones más energéticos llegan al ánodo y la corriente fotoeléctrica se corta. Nótese que el valor numérico coincide con la energía cinética máxima medida en electronvoltios, $1{,}92\ \text{eV}$.

$\textbf{c) El rango de longitudes de onda para que se produzca efecto fotoeléctrico en el aluminio. [0,75 puntos]}$

Para que haya emisión, la energía del fotón debe ser al menos igual al trabajo de extracción. El caso límite define la frecuencia umbral y la longitud de onda umbral:

$W_0=h\,f_0=h\dfrac{c}{\lambda_0}\Rightarrow \lambda_0=\dfrac{h\,c}{W_0}$

$\lambda_0=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{6{,}88\cdot10^{-19}}=2{,}89\cdot10^{-7}\ \text{m}$

Como la energía del fotón aumenta al disminuir la longitud de onda, hay efecto fotoeléctrico en el aluminio para toda radiación con:

$\lambda\le 2{,}89\cdot10^{-7}\ \text{m}$

Es decir, para longitudes de onda iguales o menores que $289\ \text{nm}$, ya en el ultravioleta cercano. Con luz visible, de mayor longitud de onda, no se arrancan electrones del aluminio por intensa que sea la iluminación.