Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cantabria · 2025

Tres cargas $q_1$, $q_2$ y $q_3$ se colocan en los puntos $(0,0)$ m, $(0,3)$ m y $(2,2)$ m respectivamente, como se muestra en la figura. Las cargas $q_1$ y $q_2$ valen $5\ \mu\text{C}$. Además, el potencial en el punto $(1,1)$ m es 45,6 kV. Calcule: [2,5 puntos]

a) El valor de la carga $q_3$. [0,5 puntos]

b) El trabajo necesario para trasladar una carga de $2\ \mu\text{C}$ desde el punto $(1,1)$ m hasta $(0,2)$ m, interpretando razonadamente el signo del trabajo obtenido. [1 punto]

c) El vector campo eléctrico en el punto $(0,2)$ m debido a las cargas $q_1$, $q_2$ y $q_3$. [1 punto]

Dato: constante de Coulomb, $k = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) El valor de la carga } \boldsymbol{q_3}\textbf{. [0,5 puntos]}$

El potencial que crean varias cargas puntuales en un punto es la suma escalar de los que crea cada una:

$V=k\sum_i\dfrac{q_i}{d_i}$

Se calculan las distancias desde cada carga hasta el punto $P(1,1)$ m:

$d_1=\sqrt{1^2+1^2}=1{,}41\ \text{m}$

$d_2=\sqrt{1^2+2^2}=2{,}24\ \text{m}$

$d_3=\sqrt{1^2+1^2}=1{,}41\ \text{m}$

La contribución de las dos cargas conocidas vale:

$V_{12}=9\cdot10^{9}\left(\dfrac{5\cdot10^{-6}}{1{,}41}+\dfrac{5\cdot10^{-6}}{2{,}24}\right)=5{,}19\cdot10^{4}\ \text{V}$

Como el potencial total en $P$ es de $45{,}6\ \text{kV}$, la tercera carga tiene que aportar la diferencia:

$k\dfrac{q_3}{d_3}=4{,}56\cdot10^{4}-5{,}19\cdot10^{4}=-6{,}3\cdot10^{3}\ \text{V}$

$q_3=\dfrac{-6{,}3\cdot10^{3}\cdot1{,}41}{9\cdot10^{9}}=-1{,}0\cdot10^{-6}\ \text{C}$

La tercera carga vale $-1\ \mu\text{C}$: es negativa, como cabía esperar de que el potencial medido sea menor que el que crean por sí solas las dos cargas positivas.

$\textbf{b) El trabajo necesario para trasladar una carga de } \boldsymbol{2\ \mu\text{C}}\textbf{ desde el punto } \boldsymbol{(1,1)}\textbf{ m hasta } \boldsymbol{(0,2)}\textbf{ m, interpretando razonadamente el signo del trabajo obtenido. [1 punto]}$

Hace falta antes el potencial en el punto de llegada $B(0,2)$ m, cuyas distancias a las tres cargas son $2\ \text{m}$, $1\ \text{m}$ y $2\ \text{m}$:

$V_B=9\cdot10^{9}\left(\dfrac{5\cdot10^{-6}}{2}+\dfrac{5\cdot10^{-6}}{1}-\dfrac{1\cdot10^{-6}}{2}\right)=6{,}30\cdot10^{4}\ \text{V}$

El campo eléctrico es conservativo, de modo que el trabajo que realiza al trasladar la carga es:

$W_{\text{campo}}=q\left(V_P-V_B\right)=2\cdot10^{-6}\left(4{,}56\cdot10^{4}-6{,}30\cdot10^{4}\right)$

$W_{\text{campo}}=-3{,}48\cdot10^{-2}\ \text{J}$

Si la carga se traslada muy despacio, el trabajo que ha de aportar el agente externo es el opuesto:

$W_{\text{ext}}=-W_{\text{campo}}=3{,}48\cdot10^{-2}\ \text{J}$

El trabajo del campo es negativo porque se lleva una carga positiva desde un punto de potencial menor a otro de potencial mayor, lo que el campo no hace por sí solo. El desplazamiento no es espontáneo y hay que aportar desde fuera $3{,}48\cdot10^{-2}\ \text{J}$, que quedan almacenados como energía potencial del sistema.

$\textbf{c) El vector campo eléctrico en el punto } \boldsymbol{(0,2)}\textbf{ m debido a las cargas } \boldsymbol{q_1}\textbf{, } \boldsymbol{q_2}\textbf{ y } \boldsymbol{q_3}\textbf{. [1 punto]}$










El campo que crea una carga puntual se aleja de ella si es positiva y apunta hacia ella si es negativa:

$\vec E=k\dfrac{q}{d^2}\,\vec u_r$





Campo que crea $q_1$, positiva, situada $2\ \text{m}$ por debajo del punto:

$\vec E_1=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{5\cdot10^{-6}}{2^2}\,\vec\jmath=1{,}13\cdot10^{4}\,\vec\jmath\ \text{N/C}$

Campo que crea $q_2$, positiva, situada $1\ \text{m}$ por encima:

$\vec E_2=-9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{5\cdot10^{-6}}{1^2}\,\vec\jmath=-4{,}50\cdot10^{4}\,\vec\jmath\ \text{N/C}$

Campo que crea $q_3$, negativa, situada $2\ \text{m}$ a la derecha, hacia la que apunta el campo:

$\vec E_3=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{1\cdot10^{-6}}{2^2}\,\vec\imath=2{,}25\cdot10^{3}\,\vec\imath\ \text{N/C}$

Por el principio de superposición se suman los tres:

$\vec E=\left(2{,}25\cdot10^{3}\right)\vec\imath+\left(1{,}13\cdot10^{4}-4{,}50\cdot10^{4}\right)\vec\jmath$

$\vec E=\left(2{,}25\,\vec\imath-33{,}75\,\vec\jmath\right)\cdot10^{3}\ \text{N/C}$

Su módulo y el ángulo que forma con el semieje $X$ positivo son:

$E=\sqrt{(2{,}25)^2+(33{,}75)^2}\cdot10^{3}=3{,}38\cdot10^{4}\ \text{N/C}$

$\alpha=\arctan\dfrac{-33{,}75}{2{,}25}=-86{,}2^\circ$

El campo en ese punto es prácticamente vertical y hacia abajo, porque $q_2$ está cuatro veces más cerca que las otras dos cargas y su contribución domina sobre todas las demás.