Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cantabria · 2025

En un laboratorio de preparación de radiofármacos se rompe accidentalmente el contenedor de una solución de ${}^{68}\text{Ga}$ (vida media $\tau = 67{,}7$ minutos), vertiéndose una muestra con una actividad de 246 MBq. Calcule: [2,5 puntos]

a) La constante de desintegración del ${}^{68}\text{Ga}$. [0,5 puntos]

b) La masa vertida de ${}^{68}\text{Ga}$. [1 punto]

c) El tiempo que ha de transcurrir hasta que la actividad se reduzca a 35 kBq. [1 punto]

Datos: masa molar del ${}^{68}\text{Ga}$, $M_{Ga} = 67{,}9\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$; número de Avogadro, $N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$.

$\textbf{a) La constante de desintegración del } \boldsymbol{{}^{68}\text{Ga}}\textbf{. [0,5 puntos]}$










La vida media $\tau$ es el tiempo que por término medio tarda un núcleo en desintegrarse, y es la inversa de la constante de desintegración:

$\tau=\dfrac{1}{\lambda}$





Se pasa la vida media a segundos y se despeja:

$\tau=67{,}7\ \text{min}\cdot60\ \dfrac{\text{s}}{\text{min}}=4{,}06\cdot10^{3}\ \text{s}$

$\lambda=\dfrac{1}{4{,}06\cdot10^{3}}=2{,}46\cdot10^{-4}\ \text{s}^{-1}$

$\textbf{b) La masa vertida de } \boldsymbol{{}^{68}\text{Ga}}\textbf{. [1 punto]}$

La actividad de una muestra es proporcional al número de núcleos radiactivos que contiene:

$A=\lambda\,N$

Se despeja el número de núcleos, con la actividad en becquerelios:

$A=246\ \text{MBq}=2{,}46\cdot10^{8}\ \text{Bq}$

$N=\dfrac{A}{\lambda}=\dfrac{2{,}46\cdot10^{8}}{2{,}46\cdot10^{-4}}=9{,}99\cdot10^{11}\ \text{núcleos}$

Ese número de núcleos corresponde a la cantidad de sustancia:

$n=\dfrac{N}{N_A}=\dfrac{9{,}99\cdot10^{11}}{6{,}02\cdot10^{23}}=1{,}66\cdot10^{-12}\ \text{mol}$

Y con la masa molar del isótopo se obtiene la masa vertida:

$m=n\,M_{Ga}=1{,}66\cdot10^{-12}\cdot67{,}9=1{,}13\cdot10^{-10}\ \text{g}$

Se han vertido $1{,}13\cdot10^{-10}\ \text{g}$ de galio-68, es decir, poco más de una décima de nanogramo: una actividad de cientos de megabecquerelios se consigue con una masa completamente inapreciable.

$\textbf{c) El tiempo que ha de transcurrir hasta que la actividad se reduzca a 35 kBq. [1 punto]}$

La actividad decae exponencialmente según la ley de desintegración:

$A=A_0\,e^{-\lambda t}$

Se sustituyen la actividad inicial y la final, ambas en becquerelios:

$3{,}5\cdot10^{4}=2{,}46\cdot10^{8}\,e^{-\lambda t}$

Se toman logaritmos neperianos y se despeja el tiempo:

$\ln\dfrac{2{,}46\cdot10^{8}}{3{,}5\cdot10^{4}}=\lambda t\Rightarrow t=\dfrac{\ln\left(7{,}03\cdot10^{3}\right)}{2{,}46\cdot10^{-4}}$

$t=3{,}60\cdot10^{4}\ \text{s}$

Han de transcurrir $3{,}60\cdot10^{4}\ \text{s}$, es decir, unos $600$ minutos: diez horas después del vertido la actividad habrá caído hasta los $35\ \text{kBq}$.