Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2025

Por una cuerda se propaga una onda cuya función matemática, en unidades SI, viene dada por:

$y(x,t) = 0{,}05\,\cos[2\pi(4x - 5t)]$

a) Determine el sentido de propagación, la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y la velocidad de propagación de la onda. [1,5 puntos]

b) Calcule la elongación de un punto de la cuerda situado en $x = 1/2$ m en el instante $t = 11/30$ s. [0,5 puntos]

c) Calcule la velocidad transversal de dicho punto en ese instante. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Determine el sentido de propagación, la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y la velocidad de propagación de la onda. [1,5 puntos]}$

Se compara la función del enunciado con la ecuación general de una onda armónica que avanza en el sentido positivo del eje $X$:

$y(x,t)=A\,\cos\left(kx-\omega t\right)$

$y(x,t)=0{,}05\,\cos\left(8\pi x-10\pi t\right)$

El signo negativo entre los dos términos de la fase indica que la onda se propaga hacia las $x$ crecientes. Identificando términos:

$A=0{,}05\ \text{m};\qquad k=8\pi\ \text{rad/m};\qquad \omega=10\pi\ \text{rad/s}$

De la constante de propagación se obtiene la longitud de onda:

$\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{8\pi}=0{,}25\ \text{m}$

De la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo:

$f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{10\pi}{2\pi}=5\ \text{Hz}$

$T=\dfrac{1}{f}=0{,}2\ \text{s}$

Y la velocidad de propagación:

$v=\lambda f=0{,}25\cdot5=1{,}25\ \text{m/s}$

La onda avanza hacia las $x$ positivas a $1{,}25\ \text{m/s}$, con una amplitud de $5\ \text{cm}$, una longitud de onda de $25\ \text{cm}$ y un periodo de $0{,}2\ \text{s}$.

$\textbf{b) Calcule la elongación de un punto de la cuerda situado en } \boldsymbol{x = 1/2}\textbf{ m en el instante } \boldsymbol{t = 11/30}\textbf{ s. [0,5 puntos]}$

Basta sustituir la posición y el instante en la función de onda:

$y\left(\dfrac12,\dfrac{11}{30}\right)=0{,}05\,\cos\left[2\pi\left(4\cdot\dfrac12-5\cdot\dfrac{11}{30}\right)\right]$

$y=0{,}05\,\cos\left[2\pi\left(2-\dfrac{11}{6}\right)\right]=0{,}05\,\cos\dfrac{\pi}{3}$

$y=0{,}05\cdot0{,}5=0{,}025\ \text{m}$

En ese instante el punto está $2{,}5\ \text{cm}$ por encima de la posición de equilibrio, a la mitad de la amplitud.



$\textbf{c) Calcule la velocidad transversal de dicho punto en ese instante. [0,5 puntos]}$

La velocidad transversal es la derivada de la elongación respecto del tiempo, manteniendo fija la posición del punto:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=0{,}05\cdot10\pi\,\operatorname{sen}\left(8\pi x-10\pi t\right)$

$v_y=0{,}5\pi\,\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{3}=0{,}5\pi\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}$

$v_y=1{,}36\ \text{m/s}$

El signo positivo indica que en ese instante el punto se dirige hacia arriba, con una rapidez de $1{,}36\ \text{m/s}$, muy distinta de la velocidad con la que se propaga la onda, que es de $1{,}25\ \text{m/s}$ y lleva la dirección del eje $X$.