Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cantabria · 2025

La figura muestra una configuración de tres cargas eléctricas de valores $q_1 = q_2 = 5\ \text{mC}$ y $q_3 = -5\ \text{mC}$, situadas en las posiciones $(0,2)\ \text{cm}$, $(0,0)\ \text{cm}$ y $(2,0)\ \text{cm}$ respectivamente. Calcule: [2,5 puntos]

a) La energía potencial eléctrica total del sistema. [1 punto]

b) El vector fuerza eléctrica que siente la carga $q_3$. [0,5 puntos]

c) El trabajo externo que habría que realizar para llevar la carga $q_1$ desde su posición inicial a la posición $(1,0)$ cm, marcada con un aspa en la figura. [1 punto]

Dato: constante de Coulomb, $k = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) La energía potencial eléctrica total del sistema. [1 punto]}$

La energía potencial de un sistema de cargas es la suma de las energías de todos los pares que se pueden formar con ellas:

$E_p=k\left(\dfrac{q_1q_2}{r_{12}}+\dfrac{q_1q_3}{r_{13}}+\dfrac{q_2q_3}{r_{23}}\right)$

Se calculan primero las tres distancias, en metros:

$r_{12}=2\ \text{cm}=0{,}02\ \text{m};\qquad r_{23}=0{,}02\ \text{m}$

$r_{13}=\sqrt{0{,}02^2+0{,}02^2}=2{,}83\cdot10^{-2}\ \text{m}$

Se sustituyen ahora los valores, con $q_1=q_2=5\cdot10^{-3}\ \text{C}$ y $q_3=-5\cdot10^{-3}\ \text{C}$:

$E_{12}=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{\left(5\cdot10^{-3}\right)^2}{0{,}02}=1{,}13\cdot10^{7}\ \text{J}$

$E_{13}=-9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{\left(5\cdot10^{-3}\right)^2}{2{,}83\cdot10^{-2}}=-7{,}96\cdot10^{6}\ \text{J}$

$E_{23}=-9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{\left(5\cdot10^{-3}\right)^2}{0{,}02}=-1{,}13\cdot10^{7}\ \text{J}$

Sumando los tres términos:

$E_p=1{,}13\cdot10^{7}-7{,}96\cdot10^{6}-1{,}13\cdot10^{7}=-7{,}96\cdot10^{6}\ \text{J}$

La energía potencial del sistema es negativa: predominan las interacciones atractivas, y haría falta aportar $7{,}96\cdot10^{6}\ \text{J}$ desde fuera para separar las tres cargas hasta el infinito.

$\textbf{b) El vector fuerza eléctrica que siente la carga } \boldsymbol{q_3}\textbf{. [0,5 puntos]}$










Por la ley de Coulomb, cada una de las cargas positivas atrae a $q_3$, que es negativa:

$F=k\dfrac{|q\,q_3|}{r^2}$

Las dos fuerzas apuntan desde $q_3$ hacia la carga que las produce.





Fuerza que ejerce $q_1$, situada en la diagonal:

$F_{13}=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{\left(5\cdot10^{-3}\right)^2}{\left(2{,}83\cdot10^{-2}\right)^2}=2{,}81\cdot10^{8}\ \text{N}$

Su dirección forma $45^\circ$ con los ejes y apunta hacia el segundo cuadrante:

$\vec F_{13}=2{,}81\cdot10^{8}\,\dfrac{(-1,1)}{\sqrt2}=\left(-1{,}99\,\vec\imath+1{,}99\,\vec\jmath\right)\cdot10^{8}\ \text{N}$

Fuerza que ejerce $q_2$, que está sobre el mismo eje $X$:

$\vec F_{23}=-9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{\left(5\cdot10^{-3}\right)^2}{0{,}02^2}\,\vec\imath=-5{,}63\cdot10^{8}\,\vec\imath\ \text{N}$

Por el principio de superposición se suman las dos:

$\vec F=\vec F_{13}+\vec F_{23}=\left(-7{,}61\,\vec\imath+1{,}99\,\vec\jmath\right)\cdot10^{8}\ \text{N}$

Su módulo y el ángulo que forma con el semieje $X$ positivo son:

$F=\sqrt{(7{,}61)^2+(1{,}99)^2}\cdot10^{8}=7{,}87\cdot10^{8}\ \text{N}$

$\alpha=\arctan\dfrac{1{,}99}{-7{,}61}=165{,}4^\circ$

$\textbf{c) El trabajo externo que habría que realizar para llevar la carga } \boldsymbol{q_1}\textbf{ desde su posición inicial a la posición } \boldsymbol{(1,0)}\textbf{ cm, marcada con un aspa en la figura. [1 punto]}$

Si la carga se traslada muy despacio, sin variación de energía cinética, el trabajo del agente externo es igual a la variación de la energía potencial del sistema:

$W_{\text{ext}}=\Delta E_p=E_p(\text{final})-E_p(\text{inicial})$

En este proceso solo se mueve $q_1$, así que el término $E_{23}$ es el mismo antes y después y se cancela. Basta considerar la energía de $q_1$ con las otras dos cargas.

En la posición inicial, $(0,2)$ cm, con $r_{12}=0{,}02\ \text{m}$ y $r_{13}=2{,}83\cdot10^{-2}\ \text{m}$:

$E_p(\text{inicial})=9\cdot10^{9}\cdot5\cdot10^{-3}\left(\dfrac{5\cdot10^{-3}}{0{,}02}-\dfrac{5\cdot10^{-3}}{2{,}83\cdot10^{-2}}\right)=3{,}30\cdot10^{6}\ \text{J}$

En la posición final, $(1,0)$ cm, la carga queda a la misma distancia de $q_2$ y de $q_3$, que son iguales y de signo contrario:

$E_p(\text{final})=9\cdot10^{9}\cdot5\cdot10^{-3}\left(\dfrac{5\cdot10^{-3}}{0{,}01}-\dfrac{5\cdot10^{-3}}{0{,}01}\right)=0\ \text{J}$

Por tanto:

$W_{\text{ext}}=0-3{,}30\cdot10^{6}=-3{,}30\cdot10^{6}\ \text{J}$

El trabajo externo es negativo, de $-3{,}30\cdot10^{6}\ \text{J}$: el desplazamiento es espontáneo y es el propio campo el que lo realiza, de modo que el agente externo tiene que frenar la carga para que llegue en reposo al punto marcado con el aspa.