Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Un cuerpo de masa $m_1 = 10\ \text{kg}$ permanece fijo en el punto $(4,-3)\ \text{m}$. [2,5 puntos]

a) Calcule el campo gravitatorio generado por dicho cuerpo en el origen de coordenadas. [1 punto]

b) Calcule la fuerza que experimentará un segundo cuerpo de masa $m_2 = 5\ \text{kg}$ situado en el origen de coordenadas. [0,5 puntos]

Se pretende alejar el segundo cuerpo, transmitiéndole una velocidad de $10^{-2}\ \text{mm}/\text{s}$ según la dirección que une ambos cuerpos, alejándole del primero.

c) Halle la distancia máxima a la que llegará el segundo cuerpo con respecto al primero. [1 punto]

Dato: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule el campo gravitatorio generado por dicho cuerpo en el origen de coordenadas. [1 punto]}$










El campo gravitatorio que crea una masa puntual apunta siempre hacia ella:

$\vec g=-G\dfrac{m_1}{r^2}\,\vec u_r$

donde $\vec u_r$ es el vector unitario que va de la masa al punto donde se calcula el campo.





El vector que va del origen hasta la masa y su módulo son:

$\vec r=(4,-3)-(0,0)=(4,-3)\ \text{m}\Rightarrow r=\sqrt{4^2+3^2}=5\ \text{m}$

El módulo del campo en el origen vale:

$g=G\dfrac{m_1}{r^2}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{10}{5^2}=2{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N/kg}$

Y su dirección es la del vector unitario que apunta del origen hacia $m_1$:

$\vec u=\dfrac{(4,-3)}{5}=(0{,}8,-0{,}6)$

$\vec g=2{,}67\cdot10^{-11}\,(0{,}8,-0{,}6)=\left(2{,}13\,\vec\imath-1{,}60\,\vec\jmath\right)\cdot10^{-11}\ \text{N/kg}$

$\textbf{b) Calcule la fuerza que experimentará un segundo cuerpo de masa } \boldsymbol{m_2 = 5\ \text{kg}}\textbf{ situado en el origen de coordenadas. [0,5 puntos]}$

La fuerza sobre una masa colocada en un punto es el producto de esa masa por el campo en dicho punto:

$\vec F=m_2\,\vec g$

$\vec F=5\cdot\left(2{,}13\,\vec\imath-1{,}60\,\vec\jmath\right)\cdot10^{-11}=\left(1{,}07\,\vec\imath-0{,}80\,\vec\jmath\right)\cdot10^{-10}\ \text{N}$

Su módulo es:

$F=m_2\,g=5\cdot2{,}67\cdot10^{-11}=1{,}33\cdot10^{-10}\ \text{N}$

La fuerza tiene la misma dirección y sentido que el campo, es decir, apunta desde el origen hacia $m_1$, y vale $1{,}33\cdot10^{-10}\ \text{N}$.

$\textbf{c) Halle la distancia máxima a la que llegará el segundo cuerpo con respecto al primero. [1 punto]}$

Como la única fuerza que actúa sobre $m_2$ es la gravitatoria, que es conservativa, su energía mecánica se conserva entre la posición inicial y la más alejada:

$E_c+E_p=E_c'+E_p'$

En el punto más alejado el cuerpo se detiene, de modo que su energía cinética allí es nula:

$\dfrac12\,m_2v_0^2-G\dfrac{m_1m_2}{r}=-G\dfrac{m_1m_2}{d_{\max}}$

Se expresa la velocidad en unidades del Sistema Internacional:

$v_0=10^{-2}\ \text{mm/s}=10^{-5}\ \text{m/s}$

$E_c=\dfrac12\cdot5\cdot\left(10^{-5}\right)^2=2{,}50\cdot10^{-10}\ \text{J}$

$E_p=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{10\cdot5}{5}=-6{,}67\cdot10^{-10}\ \text{J}$

$E=2{,}50\cdot10^{-10}-6{,}67\cdot10^{-10}=-4{,}17\cdot10^{-10}\ \text{J}$

La energía mecánica es negativa, así que el cuerpo queda ligado y no puede escapar. Despejando la distancia en la que se anula la velocidad:

$d_{\max}=-G\dfrac{m_1m_2}{E}=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot10\cdot5}{4{,}17\cdot10^{-10}}=8{,}00\ \text{m}$

El segundo cuerpo se aleja hasta $8{,}00\ \text{m}$ del primero, tres metros más allá de su posición de partida, y desde allí vuelve a caer atraído por $m_1$.