Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Sicorax es un satélite de Urano. La distancia entre ambos oscila entre 5,8 y 18,5 millones de km. [2,5 puntos]

a) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio en el tránsito del punto más cercano al más alejado de la órbita del satélite alrededor del planeta. [1 punto]

b) ¿En qué punto de la trayectoria del satélite alrededor de Urano será mínima la velocidad orbital? [0,5 puntos]

c) Calcule la velocidad orbital mínima referida en el apartado b), sabiendo que la energía mecánica del satélite es $-4{,}8\cdot 10^{23}\ \text{J}$. [1 punto]

Datos: masa de Urano, $M_U = 8{,}7\cdot 10^{25}\ \text{kg}$; masa de Sicorax, $M_S = 2\cdot 10^{18}\ \text{kg}$; constante de gravitación universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio en el tránsito del punto más cercano al más alejado de la órbita del satélite alrededor del planeta. [1 punto]}$

El campo gravitatorio es conservativo, así que el trabajo que realiza sobre el satélite no depende del camino y es igual a la disminución de su energía potencial:

$W=-\Delta E_p=E_p(\text{inicial})-E_p(\text{final})$



La energía potencial gravitatoria del satélite a una distancia $r$ del centro de Urano es:

$E_p=-G\dfrac{M_U\,M_S}{r}$

Se pasan las dos distancias a metros:

$r_1=5{,}8\ \text{millones de km}=5{,}8\cdot10^{9}\ \text{m};\qquad r_2=18{,}5\cdot10^{9}\ \text{m}$

En el punto más cercano, el periastro:

$E_p(r_1)=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot8{,}7\cdot10^{25}\cdot2\cdot10^{18}}{5{,}8\cdot10^{9}}=-2{,}00\cdot10^{24}\ \text{J}$

En el punto más alejado, el apoastro:

$E_p(r_2)=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot8{,}7\cdot10^{25}\cdot2\cdot10^{18}}{18{,}5\cdot10^{9}}=-6{,}27\cdot10^{23}\ \text{J}$

Por tanto:

$W=-2{,}00\cdot10^{24}+6{,}27\cdot10^{23}=-1{,}37\cdot10^{24}\ \text{J}$

El trabajo del campo es negativo, de $-1{,}37\cdot10^{24}\ \text{J}$, porque el satélite se aleja del planeta que lo atrae: la fuerza gravitatoria se opone al desplazamiento.

$\textbf{b) ¿En qué punto de la trayectoria del satélite alrededor de Urano será mínima la velocidad orbital? [0,5 puntos]}$

Sobre el satélite solo actúa la fuerza gravitatoria, que es conservativa, de modo que su energía mecánica se mantiene constante a lo largo de toda la órbita:

$E=E_c+E_p=\text{constante}$

Al alejarse del planeta la energía potencial aumenta —se hace menos negativa—, y como la suma no cambia, la energía cinética tiene que disminuir. La velocidad es por tanto mínima donde la energía potencial es máxima, es decir, en el punto más alejado de la órbita, el apoastro, a $18{,}5\cdot10^{9}\ \text{m}$ del centro de Urano.

A la misma conclusión se llega con la segunda ley de Kepler: el radiovector que une el planeta con el satélite barre áreas iguales en tiempos iguales, así que el satélite ha de moverse más despacio cuanto más largo es ese radiovector.

$\textbf{c) Calcule la velocidad orbital mínima referida en el apartado b), sabiendo que la energía mecánica del satélite es } \boldsymbol{-4{,}8\cdot 10^{23}\ \text{J}}\textbf{. [1 punto]}$

En el apoastro la energía cinética es la diferencia entre la energía mecánica y la potencial:

$E_c=E-E_p(r_2)$

$E_c=-4{,}8\cdot10^{23}+6{,}27\cdot10^{23}=1{,}47\cdot10^{23}\ \text{J}$

Y de la definición de energía cinética se despeja la velocidad:

$E_c=\dfrac12\,M_S\,v^2\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{2E_c}{M_S}}$

$v=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}47\cdot10^{23}}{2\cdot10^{18}}}=3{,}84\cdot10^{2}\ \text{m/s}$

La velocidad orbital mínima de Sicorax es de $384\ \text{m/s}$, y la alcanza en el punto más alejado de su órbita.