Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Dos masas de 5 kg se hallan situadas en los puntos $(-10,0)$ y $(10,0)$ respectivamente. Nota: todas las distancias expresadas en metros.

a) Calcule y represente la fuerza que experimenta una masa de 2 kg, situada en el punto $(0,-5)$. [1 punto]

b) Exprese correctamente el potencial en los puntos $(0,-5)$ y $(0,0)$ debido a las dos masas. Calcule el trabajo realizado por la gravedad para llevar una masa de 2 kg desde el punto $(0,-5)$ al punto $(0,0)$. [1,5 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G = 6{,}7\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule y represente la fuerza que experimenta una masa de 2 kg, situada en el punto } \boldsymbol{(0,-5)}\textbf{. [1 punto]}$










Por la ley de gravitación universal, cada masa atrae a la de 2 kg hacia sí misma:

$F=G\dfrac{M\,m}{r^2}$

El punto está en la mediatriz del segmento que une las dos masas, así que dista lo mismo de ambas.





$r=\sqrt{10^2+5^2}=\sqrt{125}=11{,}18\ \text{m}\Rightarrow r^2=125\ \text{m}^2$

$F_1=F_2=G\dfrac{M\,m}{r^2}=6{,}7\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{5\cdot2}{125}=5{,}36\cdot10^{-12}\ \text{N}$

Cada fuerza apunta hacia su masa, con componentes proporcionales a $(\mp10\ ;\ 5)$. Al sumarlas, las horizontales se cancelan por simetría y las verticales se suman:

$\vec F=2\,F_1\cdot\dfrac{5}{11{,}18}\,\vec\jmath=2\cdot5{,}36\cdot10^{-12}\cdot0{,}4472\,\vec\jmath$

$\vec F=4{,}79\cdot10^{-12}\,\vec\jmath\ \text{N}$

La resultante es vertical y apunta hacia el origen, que es donde está el centro de masas del sistema.

$\textbf{b) Exprese correctamente el potencial en los puntos } \boldsymbol{(0,-5)}\textbf{ y } \boldsymbol{(0,0)}\textbf{ debido a las dos masas. Calcule el trabajo realizado por la gravedad para llevar una masa de 2 kg desde el punto } \boldsymbol{(0,-5)}\textbf{ al punto } \boldsymbol{(0,0)}\textbf{. [1,5 puntos]}$

El potencial es una magnitud escalar y se suman los de las dos masas, que están siempre a la misma distancia de los puntos del eje $y$:

$V=-G\dfrac{2M}{r}$

En el punto $(0,-5)$, con $r=11{,}18\ \text{m}$:

$V(0,-5)=-6{,}7\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{10}{11{,}18}$

$V(0,-5)=-5{,}99\cdot10^{-11}\ \text{J/kg}$

En el origen las dos masas están a 10 m:

$V(0,0)=-6{,}7\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{10}{10}$

$V(0,0)=-6{,}70\cdot10^{-11}\ \text{J/kg}$

Como el campo gravitatorio es conservativo, el trabajo se obtiene de la diferencia de potenciales:

$W=m\left(V_{\text{inicial}}-V_{\text{final}}\right)=2\left(-5{,}9927\cdot10^{-11}+6{,}70\cdot10^{-11}\right)$

$W=1{,}41\cdot10^{-11}\ \text{J}$

El trabajo es positivo porque el punto de llegada tiene un potencial más negativo: el desplazamiento se produce espontáneamente, en el sentido en que el campo empuja a la masa.