Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Determine para un satélite artificial de masa 500 kg que rodea la Tierra en una órbita circular a $0{,}30\cdot 10^{6}\ \text{m}$ de la superficie del planeta. Determine:

a) El valor de la velocidad, así como el tiempo que tarda en realizar una órbita. [1 punto]

b) La aceleración en la órbita. [0,5 puntos]

c) La energía mecánica del satélite en órbita y el trabajo que se requiere para poner el satélite en esa órbita. [1 punto]

Datos: constante de gravitación universal, $G = 6{,}7\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; radio de la Tierra, $R_T = 6370\ \text{km}$.

$\textbf{a) El valor de la velocidad, así como el tiempo que tarda en realizar una órbita. [1 punto]}$










La atracción gravitatoria terrestre es la fuerza centrípeta de la órbita circular. Aplicando la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}$





El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra:

$r=R_T+h=6{,}37\cdot10^{6}+0{,}30\cdot10^{6}=6{,}67\cdot10^{6}\ \text{m}$

$v=\sqrt{\dfrac{6{,}7\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{6{,}67\cdot10^{6}}}$

$v=7{,}74\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

El periodo sale del movimiento circular uniforme:

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\cdot6{,}67\cdot10^{6}}{7{,}744\cdot10^{3}}$

$T=5{,}41\cdot10^{3}\ \text{s}$

Es decir, poco más de hora y media, lo típico de una órbita baja.

$\textbf{b) La aceleración en la órbita. [0,5 puntos]}$

La única fuerza es la gravitatoria, así que la aceleración del satélite es la aceleración centrípeta, que coincide con el campo gravitatorio a esa distancia:

$a=\dfrac{v^2}{r}=G\dfrac{M_T}{r^2}=\dfrac{6{,}7\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{\left(6{,}67\cdot10^{6}\right)^2}$

$a=8{,}99\ \text{m/s}^2$

Solo un 9 % menor que en la superficie terrestre: a 300 km de altura la gravedad sigue siendo prácticamente la misma, y lo que hace flotar a los astronautas es la caída libre, no la ausencia de gravedad.

$\textbf{c) La energía mecánica del satélite en órbita y el trabajo que se requiere para poner el satélite en esa órbita. [1 punto]}$

En una órbita circular la energía potencial es el doble de la cinética y de signo contrario, de modo que la energía mecánica es la mitad de la potencial:

$E=-G\dfrac{M_T\,m}{2r}=-\dfrac{6{,}7\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\cdot500}{2\cdot6{,}67\cdot10^{6}}$

$E=-1{,}50\cdot10^{10}\ \text{J}$

El trabajo necesario es la diferencia entre esa energía y la que tenía en la superficie, donde se supone en reposo:

$E_{\text{superficie}}=-G\dfrac{M_T\,m}{R_T}=-\dfrac{6{,}7\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\cdot500}{6{,}37\cdot10^{6}}=-3{,}14\cdot10^{10}\ \text{J}$

$W=E-E_{\text{superficie}}=-1{,}4992\cdot10^{10}+3{,}1396\cdot10^{10}$

$W=1{,}64\cdot10^{10}\ \text{J}$