Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2020

Una onda armónica transversal que se propaga hacia la parte positiva del eje $x$ con 5 cm de amplitud, una longitud de onda de 2 m y un periodo de 0,3 s. Sabiendo que en el momento inicial la elongación en $x = 0$ es 5 cm.

a) Escriba la ecuación de onda. [1 punto]

b) Obtenga la velocidad de propagación. [0,5 puntos]

c) Desfase entre dos puntos separados 2 m. [1 punto]

$\textbf{a) Escriba la ecuación de onda. [1 punto]}$



Se calculan los parámetros de la onda a partir de los datos, en unidades del Sistema Internacional:

$A=5\ \text{cm}=0{,}05\ \text{m}$

$\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{0{,}3}=20{,}9\ \text{rad/s}$

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{2}=\pi\ \text{rad/m}$

Como la onda se propaga hacia la parte positiva del eje $x$, los términos en $t$ y en $x$ llevan signos opuestos:

$y(x,t)=A\cos(\omega t-k\,x+\varphi_0)$

Se impone la condición inicial: en $t=0$ la elongación en $x=0$ vale 5 cm, que es justamente la amplitud, así que el punto está en un extremo de su oscilación:

$y(0,0)=0{,}05\cos\varphi_0=0{,}05\Rightarrow \cos\varphi_0=1\Rightarrow \varphi_0=0\ \text{rad}$

La ecuación de onda es, por tanto:

$y(x,t)=0{,}05\cos\left(20{,}9\,t-\pi\,x\right)\ \text{m}$

$\textbf{b) Obtenga la velocidad de propagación. [0,5 puntos]}$

La velocidad de propagación es el cociente entre la longitud de onda y el periodo:

$v=\dfrac{\lambda}{T}=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{2}{0{,}3}$

$v=6{,}67\ \text{m/s}$

$\textbf{c) Desfase entre dos puntos separados 2 m. [1 punto]}$

Dos puntos separados una distancia $\Delta x$ en un mismo instante tienen una diferencia de fase:

$\Delta\varphi=k\,\Delta x=\pi\cdot2$

$\Delta\varphi=2\pi\ \text{rad}$

Un desfase de $2\pi$ radianes equivale a ninguno: los dos puntos oscilan en fase. Era previsible, porque están separados exactamente una longitud de onda.