Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Dos masas de 10 kg se hallan situadas en los puntos $(5,0)$ y $(0,5)$ respectivamente. Nota: todas las distancias expresadas en metros.

a) Calcule y represente la fuerza que experimenta una masa de 5 kg, situada en el punto $(0,0)$. [1 punto]

b) Calcule el trabajo necesario para llevar una masa de 5 kg desde el punto $(0,0)$ al punto $(0,10)$. [1,5 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G = 6{,}7\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule y represente la fuerza que experimenta una masa de 5 kg, situada en el punto } \boldsymbol{(0,0)}\textbf{. [1 punto]}$










Por la ley de gravitación universal, cada masa atrae a la de 5 kg hacia sí misma:

$F=G\dfrac{M\,m}{r^2}$

Las dos masas son iguales y están a la misma distancia del origen, una sobre cada eje.





$F_1=F_2=G\dfrac{M\,m}{r^2}=6{,}7\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{10\cdot5}{5^2}$

$F_1=F_2=1{,}34\cdot10^{-10}\ \text{N}$

La primera fuerza apunta hacia la masa situada en $(5,0)$, es decir, hacia $+\vec\imath$, y la segunda hacia la situada en $(0,5)$, hacia $+\vec\jmath$:

$\vec F=\left(1{,}34\,\vec\imath+1{,}34\,\vec\jmath\right)\cdot10^{-10}\ \text{N}$

$F=\sqrt2\cdot1{,}34\cdot10^{-10}=1{,}90\cdot10^{-10}\ \text{N}$

Por simetría, la resultante forma $45^\circ$ con los dos ejes y apunta hacia el punto medio del segmento que une las masas.

$\textbf{b) Calcule el trabajo necesario para llevar una masa de 5 kg desde el punto } \boldsymbol{(0,0)}\textbf{ al punto } \boldsymbol{(0,10)}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Al ser el campo gravitatorio conservativo, el trabajo se obtiene de la diferencia de potenciales, sin necesidad de conocer el camino:

$V=-G\,M\left(\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}\right)$

En el origen las dos masas están a 5 m:

$V(0,0)=-6{,}7\cdot10^{-11}\cdot10\left(\dfrac15+\dfrac15\right)=-2{,}68\cdot10^{-10}\ \text{J/kg}$

En el punto $(0,10)$ hay que calcular las distancias:

$r_1=\sqrt{5^2+10^2}=11{,}18\ \text{m}\qquad r_2=|10-5|=5\ \text{m}$

$V(0,10)=-6{,}7\cdot10^{-11}\cdot10\left(\dfrac{1}{11{,}18}+\dfrac15\right)=-1{,}94\cdot10^{-10}\ \text{J/kg}$

El trabajo que realiza el campo es:

$W_{\text{campo}}=m\left(V_{\text{ini}}-V_{\text{fin}}\right)=5\left(-2{,}68\cdot10^{-10}+1{,}939\cdot10^{-10}\right)=-3{,}70\cdot10^{-10}\ \text{J}$

Como el enunciado pide el trabajo necesario, es decir, el que hay que realizar desde fuera, se toma el opuesto:

$W=-W_{\text{campo}}=3{,}70\cdot10^{-10}\ \text{J}$

El signo tiene sentido: el punto de llegada está más lejos de las masas, así que el desplazamiento va en contra de la atracción gravitatoria y hay que aportar energía.