Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Determine para un satélite artificial de masa 200 kg que rodea la Tierra en una órbita circular de periodo $8{,}40\cdot 10^{3}\ \text{s}$.

a) El radio de la órbita, así como el valor de la velocidad orbital. [1 punto]

b) Las energías mecánica, cinética y potencial del satélite en esa órbita. [1 punto]

c) El trabajo que se requiere para poner el satélite en esa órbita. [0,5 puntos]

Datos: constante de gravitación universal, $G = 6{,}7\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; radio de la Tierra, $R_T = 6370\ \text{km}$.

$\textbf{a) El radio de la órbita, así como el valor de la velocidad orbital. [1 punto]}$










La atracción gravitatoria terrestre es la fuerza centrípeta de la órbita circular. De la segunda ley de Newton, escribiendo la velocidad en función del periodo, sale la tercera ley de Kepler:

$r=\sqrt[3]{\dfrac{G\,M_T\,T^2}{4\pi^2}}$





$r=\sqrt[3]{\dfrac{6{,}7\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\cdot\left(8{,}40\cdot10^{3}\right)^2}{4\pi^2}}$

$r=8{,}94\cdot10^{6}\ \text{m}$

La velocidad orbital sale del movimiento circular uniforme:

$v=\dfrac{2\pi r}{T}=\dfrac{2\pi\cdot8{,}942\cdot10^{6}}{8{,}40\cdot10^{3}}$

$v=6{,}69\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

$\textbf{b) Las energías mecánica, cinética y potencial del satélite en esa órbita. [1 punto]}$

$E_c=\dfrac12\,m\,v^2=\dfrac12\cdot200\cdot\left(6{,}688\cdot10^{3}\right)^2$

$E_c=4{,}47\cdot10^{9}\ \text{J}$

$E_p=-G\dfrac{M_T\,m}{r}=-\dfrac{6{,}7\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\cdot200}{8{,}942\cdot10^{6}}$

$E_p=-8{,}95\cdot10^{9}\ \text{J}$

Como en toda órbita circular, la energía potencial es el doble de la cinética y de signo contrario, de modo que la energía mecánica es:

$E=E_c+E_p=-G\dfrac{M_T\,m}{2r}$

$E=-4{,}47\cdot10^{9}\ \text{J}$

$\textbf{c) El trabajo que se requiere para poner el satélite en esa órbita. [0,5 puntos]}$

Es la diferencia entre la energía mecánica en la órbita y la que tenía en la superficie, donde se supone en reposo:

$E_{\text{superficie}}=-G\dfrac{M_T\,m}{R_T}=-\dfrac{6{,}7\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\cdot200}{6{,}37\cdot10^{6}}=-1{,}26\cdot10^{10}\ \text{J}$

$W=E-E_{\text{superficie}}=-4{,}473\cdot10^{9}+1{,}2559\cdot10^{10}$

$W=8{,}09\cdot10^{9}\ \text{J}$