Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Cantabria · 2020

Una lámina de caras planas y paralelas, de 4 cm de espesor tiene un índice de refracción 1,5 y se encuentra en el aire, de índice de refracción 1,0. Un rayo de luz monocromática de frecuencia $4\cdot 10^{14}\ \text{Hz}$ incide desde el aire en la lámina con un ángulo de 30°. Determine:

a) Las longitudes de onda del rayo en el aire y en el vidrio. [1 punto]

b) El ángulo de refracción en la lámina con un dibujo aclarativo. [1 punto]

c) La desviación espacial que sufre el rayo al salir de la lámina. [0,5 puntos]

Dato: velocidad de la luz en el vacío, $c = 3{,}0\cdot 10^{8}\ \text{m}/\text{s}$.

$\textbf{a) Las longitudes de onda del rayo en el aire y en el vidrio. [1 punto]}$










Al cambiar de medio la frecuencia no varía, porque la impone el foco emisor; lo que cambian son la velocidad y la longitud de onda:

$v=\dfrac{c}{n}\qquad \lambda=\dfrac{v}{f}$





En el aire la luz viaja prácticamente a la velocidad $c$:

$\lambda_{\text{aire}}=\dfrac{c}{f}=\dfrac{3{,}0\cdot10^{8}}{4\cdot10^{14}}=7{,}5\cdot10^{-7}\ \text{m}=750\ \text{nm}$

Y en el vidrio la longitud de onda se reduce en el factor del índice de refracción:

$\lambda_{\text{vidrio}}=\dfrac{\lambda_{\text{aire}}}{n}=\dfrac{750}{1{,}5}$

$\lambda_{\text{vidrio}}=5\cdot10^{-7}\ \text{m}=500\ \text{nm}$

$\textbf{b) El ángulo de refracción en la lámina con un dibujo aclarativo. [1 punto]}$

Se aplica la ley de Snell en la primera cara:

$n_{\text{aire}}\sin30^\circ=n\sin\hat r$

$\sin\hat r=\dfrac{1\cdot0{,}5}{1{,}5}=0{,}3333$

$\hat r=19{,}5^\circ$

El rayo se acerca a la normal al entrar en el vidrio, que es más denso ópticamente que el aire.

$\textbf{c) La desviación espacial que sufre el rayo al salir de la lámina. [0,5 puntos]}$

En la segunda cara el rayo vuelve a refractarse y, por ser las caras paralelas, sale con el mismo ángulo de $30^\circ$ con el que entró. El único efecto de la lámina es un desplazamiento lateral respecto de la trayectoria que habría seguido sin ella:

$d=\dfrac{e\,\operatorname{sen}\left(\hat\imath-\hat r\right)}{\cos\hat r}$

$d=\dfrac{0{,}04\cdot\operatorname{sen}\left(30^\circ-19{,}47^\circ\right)}{\cos19{,}47^\circ}$

$d=7{,}75\cdot10^{-3}\ \text{m}=7{,}75\ \text{mm}$

El rayo emerge paralelo al incidente, pero desplazado unos $7{,}75\ \text{mm}$.