Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2020

Escriba la ecuación de onda de una onda armónica transversal que se propaga hacia la derecha, si tiene 6 cm de amplitud, una velocidad de propagación de 40 m/s y una frecuencia 2 Hz, teniendo en cuenta que en el momento inicial la elongación en $x = 0$ es 3 cm.

a) Escriba la ecuación de onda. [1 punto]

b) Obtenga la longitud de onda. [0,5 puntos]

c) Distancia entre dos puntos con una diferencia de fase de $\pi/2$ radianes. [1 punto]

$\textbf{a) Escriba la ecuación de onda. [1 punto]}$



Se calculan primero los parámetros de la onda a partir de los datos, en unidades del Sistema Internacional:

$A=6\ \text{cm}=0{,}06\ \text{m}$

$\omega=2\pi f=2\pi\cdot2=4\pi\ \text{rad/s}$

La longitud de onda sale de la velocidad de propagación y la frecuencia:

$\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{40}{2}=20\ \text{m}$

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{20}=0{,}1\pi\ \text{rad/m}$

Como la onda se propaga hacia la derecha, es decir, hacia las $x$ crecientes, los términos en $t$ y en $x$ llevan signos opuestos:

$y(x,t)=A\cos(\omega t-k\,x+\varphi_0)$

Se impone la condición inicial del enunciado:

$y(0,0)=0{,}06\cos\varphi_0=0{,}03\Rightarrow \cos\varphi_0=\dfrac12$

$\varphi_0=\pm\dfrac{\pi}{3}\ \text{rad}$

El enunciado no dice si en ese instante el punto sube o baja, así que las dos fases son igualmente válidas. Tomando la positiva:

$y(x,t)=0{,}06\cos\left(4\pi\,t-0{,}1\pi\,x+\dfrac{\pi}{3}\right)\ \text{m}$

$\textbf{b) Obtenga la longitud de onda. [0,5 puntos]}$

La longitud de onda es la distancia que recorre la onda en un periodo, y ya se ha obtenido en el apartado anterior:

$\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{40}{2}$

$\lambda=20\ \text{m}$

$\textbf{c) Distancia entre dos puntos con una diferencia de fase de } \boldsymbol{\pi/2}\textbf{ radianes. [1 punto]}$

Dos puntos separados una distancia $\Delta x$ en un mismo instante tienen una diferencia de fase:

$\Delta\varphi=k\,\Delta x\Rightarrow \Delta x=\dfrac{\Delta\varphi}{k}=\dfrac{\pi/2}{0{,}1\pi}$

$\Delta x=5\ \text{m}$

El resultado era previsible: una diferencia de fase de $\pi/2$ es la cuarta parte de un ciclo completo, y la cuarta parte de la longitud de onda son $5\ \text{m}$.