Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cantabria · 2021

En un instante determinado, una muestra de una sustancia radiactiva presenta una actividad inicial de $10^{8}\ \text{Bq}$. Al cabo de 100 días, la actividad de la muestra es de $2\cdot 10^{7}\ \text{Bq}$.

a) Calcule la constante de desintegración y el periodo de semidesintegración de dicha sustancia. [1,25 puntos]

b) La actividad de una segunda muestra de la misma sustancia es de $4\cdot 10^{9}\ \text{Bq}$ cuando han transcurrido 10 días. Halle cuántos núcleos radiactivos había inicialmente en esta segunda muestra. [1,25 puntos]

Dato: 1 Bq = 1 desintegración por segundo.

$\textbf{a) Calcule la constante de desintegración y el periodo de semidesintegración de dicha sustancia. [1,25 puntos]}$










La actividad de una muestra radiactiva decae exponencialmente, porque es proporcional al número de núcleos que quedan sin desintegrar:

$A=A_0\,e^{-\lambda t}$





Se sustituyen los datos y se toman logaritmos neperianos, con el tiempo en días:

$2\cdot10^{7}=10^{8}\,e^{-\lambda\cdot100}\Rightarrow \ln\dfrac15=-100\,\lambda$

$\lambda=\dfrac{\ln 5}{100}=1{,}61\cdot10^{-2}\ \text{días}^{-1}$

Conviene expresarla también en unidades del Sistema Internacional, porque hará falta para pasar de actividad a número de núcleos:

$\lambda=\dfrac{1{,}609\cdot10^{-2}}{24\cdot3600}=1{,}86\cdot10^{-7}\ \text{s}^{-1}$

El periodo de semidesintegración se obtiene de la constante:

$T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}=\dfrac{\ln 2}{1{,}609\cdot10^{-2}}$

$T_{1/2}=43{,}1\ \text{días}$

$\textbf{b) La actividad de una segunda muestra de la misma sustancia es de } \boldsymbol{4\cdot 10^{9}\ \text{Bq}}\textbf{ cuando han transcurrido 10 días. Halle cuántos núcleos radiactivos había inicialmente en esta segunda muestra. [1,25 puntos]}$

Se trata de la misma sustancia, así que la constante de desintegración es la misma. Se retrocede en el tiempo con la ley de desintegración para obtener la actividad inicial:

$A=A_0'\,e^{-\lambda t}\Rightarrow A_0'=A\,e^{\lambda t}=4\cdot10^{9}\,e^{1{,}609\cdot10^{-2}\cdot10}$

$A_0'=4\cdot10^{9}\,e^{0{,}161}=4{,}70\cdot10^{9}\ \text{Bq}$

El número de núcleos se obtiene de la definición de actividad, con la constante en $\text{s}^{-1}$:

$A_0'=\lambda\,N_0'\Rightarrow N_0'=\dfrac{A_0'}{\lambda}=\dfrac{4{,}698\cdot10^{9}}{1{,}863\cdot10^{-7}}$

$N_0'=2{,}52\cdot10^{16}\ \text{núcleos}$

Es imprescindible usar la constante en $\text{s}^{-1}$ y no en $\text{días}^{-1}$: el becquerelio es, por definición, una desintegración por segundo.