Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Cantabria · 2021

El trabajo de extracción del cobre es de 4,7 eV. Si se ilumina una superficie de este material con radiación de $2{,}5\cdot 10^{-7}\ \text{m}$, calcule:

a) La longitud de onda umbral para el cobre. [0,75 puntos]

b) La velocidad máxima de los electrones emitidos. [1 punto]

c) El potencial de frenado. [0,75 puntos]

Datos: $1\ \text{eV} = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{J}$; constante de Planck, $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}/\text{s}$; masa del electrón, $m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$; carga del electrón, $q_e = -1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) La longitud de onda umbral para el cobre. [0,75 puntos]}$



La longitud de onda umbral es la del fotón cuya energía es justo el trabajo de extracción: con ella el electrón sale con energía cinética nula, y con longitudes de onda mayores ya no hay emisión.

Se expresa primero el trabajo de extracción en unidades del Sistema Internacional:

$W_0=4{,}7\ \text{eV}\cdot\dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{J}}{1\ \text{eV}}=7{,}52\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$W_0=h\dfrac{c}{\lambda_0}\Rightarrow \lambda_0=\dfrac{h\,c}{W_0}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{7{,}52\cdot10^{-19}}$

$\lambda_0=2{,}64\cdot10^{-7}\ \text{m}=264\ \text{nm}$

Como la radiación del enunciado tiene $250\ \text{nm}$, menor que la umbral, sí produce efecto fotoeléctrico.

$\textbf{b) La velocidad máxima de los electrones emitidos. [1 punto]}$

Se calcula la energía de los fotones incidentes:

$E=h\dfrac{c}{\lambda}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{2{,}5\cdot10^{-7}}=7{,}96\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:

$E_{c,\max}=E-W_0=7{,}956\cdot10^{-19}-7{,}52\cdot10^{-19}$

$E_{c,\max}=4{,}36\cdot10^{-20}\ \text{J}$

$v=\sqrt{\dfrac{2\,E_{c,\max}}{m_e}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot4{,}36\cdot10^{-20}}{9{,}1\cdot10^{-31}}}$

$v=3{,}10\cdot10^{5}\ \text{m/s}$

$\textbf{c) El potencial de frenado. [0,75 puntos]}$

El potencial de frenado es el que hay que aplicar para que el trabajo eléctrico consuma toda la energía cinética de los electrones más rápidos:

$|q_e|\,V_0=E_{c,\max}\Rightarrow V_0=\dfrac{4{,}36\cdot10^{-20}}{1{,}6\cdot10^{-19}}$

$V_0=0{,}273\ \text{V}$

Es un potencial de frenado pequeño, porque la energía del fotón supera por muy poco el trabajo de extracción del cobre.