Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Cantabria · 2021

Un protón penetra en una zona donde hay un campo magnético $\vec B = 2\,\vec\imath\ \text{T}$, con velocidad $\vec v = 2\cdot 10^{6}\,\vec\jmath\ \text{m}/\text{s}$.

a) Calcule el vector fuerza que actúa sobre el protón. [1 punto]

b) Calcule el radio de curvatura de la trayectoria. [1 punto]

c) Calcule el periodo de la trayectoria. [0,5 puntos]

Datos: carga del protón, $q_p = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$; masa del protón, $m_p = 1{,}67\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Calcule el vector fuerza que actúa sobre el protón. [1 punto]}$










La fuerza que un campo magnético ejerce sobre una carga en movimiento es la fuerza de Lorentz:

$\vec F=q\left(\vec v\times\vec B\right)$

Es siempre perpendicular a la velocidad y al campo.





Se calcula el producto vectorial, recordando que $\vec\jmath\times\vec\imath=-\vec k$:

$\vec v\times\vec B=2\cdot10^{6}\,\vec\jmath\times2\,\vec\imath=4\cdot10^{6}\left(\vec\jmath\times\vec\imath\right)=-4\cdot10^{6}\,\vec k$

Y se multiplica por la carga del protón, que es positiva:

$\vec F=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot\left(-4\cdot10^{6}\right)\vec k$

$\vec F=-6{,}4\cdot10^{-13}\,\vec k\ \text{N}$

La fuerza tiene módulo $6{,}4\cdot10^{-13}\ \text{N}$ y va en el sentido negativo del eje $Z$.

$\textbf{b) Calcule el radio de curvatura de la trayectoria. [1 punto]}$

Como la fuerza es perpendicular a la velocidad, no cambia su módulo y hace de fuerza centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton:

$q\,v\,B=\dfrac{m_p\,v^2}{r}\Rightarrow r=\dfrac{m_p\,v}{q\,B}$

$r=\dfrac{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot2\cdot10^{6}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2}$

$r=1{,}04\cdot10^{-2}\ \text{m}=1{,}04\ \text{cm}$

$\textbf{c) Calcule el periodo de la trayectoria. [0,5 puntos]}$

El movimiento es circular uniforme, así que:

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\,m_p}{q\,B}=\dfrac{2\pi\cdot1{,}67\cdot10^{-27}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2}$

$T=3{,}28\cdot10^{-8}\ \text{s}$

Nótese que el periodo no depende de la velocidad del protón ni del radio de su órbita, sino solo de su masa, su carga y el campo: es la propiedad en la que se basa el ciclotrón.