Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cantabria · 2021

Dos cargas eléctricas puntuales de valor $Q_1 = 1\ \mu\text{C}$ y $Q_2 = -1\ \mu\text{C}$, se encuentran situadas en el plano XY, en los puntos $(2,0)$ y $(-2,0)$ respectivamente. Todas las distancias se dan en metros.

a) Calcule y represente gráficamente el vector campo eléctrico en el punto $(0,2)$. [1 punto]

b) ¿Qué valor debe tener una tercera carga, $Q_3$, situada en $(1,2)$, para que una carga situada en el punto $(0,2)$ no experimente ninguna fuerza neta? [1 punto]

c) En el caso anterior, ¿cuánto vale el potencial eléctrico resultante en el punto $(0,2)$ debido a las cargas $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$? [0,5 puntos]

Dato: constante de Coulomb, $k = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule y represente gráficamente el vector campo eléctrico en el punto } \boldsymbol{(0,2)}\textbf{. [1 punto]}$










El campo creado por una carga puntual vale $E=K\dfrac{|q|}{r^2}$; se aleja de la carga si es positiva y apunta hacia ella si es negativa.

El punto está en la mediatriz del segmento que une las dos cargas, así que dista lo mismo de ambas.





$r=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2=2{,}83\ \text{m}\Rightarrow r^2=8\ \text{m}^2$

Como las dos cargas tienen el mismo valor absoluto, los dos campos tienen el mismo módulo:

$E_1=E_2=K\dfrac{|Q|}{r^2}=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{10^{-6}}{8}=1125\ \text{N/C}$

El campo de $Q_1$, que es positiva, se aleja de ella; el de $Q_2$, que es negativa, se dirige hacia ella. Cada uno forma $45^\circ$ con la horizontal, uno hacia arriba y el otro hacia abajo, así que las componentes verticales se cancelan y las horizontales se suman:

$\vec E=-2\,E_1\cos45^\circ\,\vec\imath=-2\cdot1125\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\,\vec\imath$

$\vec E=-1{,}59\cdot10^{3}\,\vec\imath\ \text{N/C}$

Este es el resultado general del dipolo: en la mediatriz el campo es paralelo a la recta que une las cargas y va de la positiva a la negativa.

$\textbf{b) ¿Qué valor debe tener una tercera carga, } \boldsymbol{Q_3}\textbf{, situada en } \boldsymbol{(1,2)}\textbf{, para que una carga situada en el punto } \boldsymbol{(0,2)}\textbf{ no experimente ninguna fuerza neta? [1 punto]}$

Para que la fuerza sobre una carga colocada en $(0,2)$ sea nula, el campo total en ese punto ha de anularse. La carga $Q_3$ debe crear allí un campo igual y opuesto al anterior:

$\vec E_3=+1591\,\vec\imath\ \text{N/C}$

La distancia entre $(1,2)$ y $(0,2)$ es de 1 m, y el vector que va de $Q_3$ al punto apunta hacia $-\vec\imath$. Para que el campo salga hacia $+\vec\imath$, es decir, hacia la propia carga, esta debe ser negativa.

Se despeja su valor absoluto:

$E_3=K\dfrac{|Q_3|}{d^2}\Rightarrow |Q_3|=\dfrac{E_3\,d^2}{K}=\dfrac{1591\cdot1^2}{9\cdot10^{9}}$

$Q_3=-1{,}77\cdot10^{-7}\ \text{C}=-0{,}177\ \mu\text{C}$

$\textbf{c) En el caso anterior, ¿cuánto vale el potencial eléctrico resultante en el punto } \boldsymbol{(0,2)}\textbf{ debido a las cargas } \boldsymbol{Q_1}\textbf{, } \boldsymbol{Q_2}\textbf{ y } \boldsymbol{Q_3}\textbf{? [0,5 puntos]}$

El potencial es una magnitud escalar y se suman los de las tres cargas con su signo:

$V=K\left(\dfrac{Q_1}{r}+\dfrac{Q_2}{r}+\dfrac{Q_3}{d}\right)$

Las dos primeras están a la misma distancia y son opuestas, así que sus potenciales se cancelan:

$K\dfrac{Q_1+Q_2}{r}=K\dfrac{10^{-6}-10^{-6}}{2{,}828}=0\ \text{V}$

Solo queda la contribución de $Q_3$:

$V=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{-1{,}768\cdot10^{-7}}{1}$

$V=-1{,}59\cdot10^{3}\ \text{V}$

Merece la pena señalarlo: que el campo se anule en un punto no implica que el potencial sea nulo allí, ni al revés. Son cosas distintas.