Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Cantabria · 2021

Un material de caras planas y paralelas tiene un índice de refracción de 1,55. Si lo colocamos entre agua y aire e incidimos con un rayo de luz monocromática de $4{,}5\cdot 10^{14}\ \text{Hz}$ de frecuencia desde el agua, con un ángulo de 20° respecto a la normal, calcule:

a) La longitud de onda del rayo en el agua y en el material. [0,5 puntos]

b) Los dos ángulos de refracción, con un dibujo explicativo. [1 punto]

c) El ángulo de incidencia a partir del cual se produce reflexión interna total en la segunda cara. [1 punto]

Datos: índice de refracción del agua, $n_{\text{agua}} = 1{,}33$; índice de refracción del aire, $n_{\text{aire}} = 1$; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}/\text{s}$.

$\textbf{a) La longitud de onda del rayo en el agua y en el material. [0,5 puntos]}$










Al cambiar de medio la frecuencia no varía, porque la impone el foco emisor; lo que cambian son la velocidad y la longitud de onda:

$v=\dfrac{c}{n}\qquad \lambda=\dfrac{v}{f}$





En el agua:

$\lambda_{\text{agua}}=\dfrac{c}{n_{\text{agua}}\,f}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{1{,}33\cdot4{,}5\cdot10^{14}}$

$\lambda_{\text{agua}}=5{,}01\cdot10^{-7}\ \text{m}=501\ \text{nm}$

En el material:

$\lambda_{\text{mat}}=\dfrac{c}{n\,f}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{1{,}55\cdot4{,}5\cdot10^{14}}$

$\lambda_{\text{mat}}=4{,}30\cdot10^{-7}\ \text{m}=430\ \text{nm}$

$\textbf{b) Los dos ángulos de refracción, con un dibujo explicativo. [1 punto]}$

Se aplica la ley de Snell en la primera cara, al pasar del agua al material:

$n_{\text{agua}}\sin20^\circ=n\sin\hat r_1$

$\sin\hat r_1=\dfrac{1{,}33\cdot0{,}342}{1{,}55}=0{,}2935\Rightarrow \hat r_1=17{,}1^\circ$

En la segunda cara el ángulo de incidencia es ese mismo $\hat r_1$, porque las caras son paralelas:

$n\sin\hat r_1=n_{\text{aire}}\sin\hat r_2$

$\sin\hat r_2=1{,}55\cdot0{,}2935=0{,}4549\Rightarrow \hat r_2=27{,}1^\circ$

El rayo se acerca a la normal al entrar en el material, que es más denso ópticamente que el agua, y se aleja de ella al salir al aire.

$\textbf{c) El ángulo de incidencia a partir del cual se produce reflexión interna total en la segunda cara. [1 punto]}$

En la segunda cara hay reflexión total cuando el ángulo de refracción en el aire sería de $90^\circ$. Encadenando las dos aplicaciones de la ley de Snell, el material actúa solo de intermediario:

$n_{\text{agua}}\sin\hat\imath_L=n\sin\hat r_1=n_{\text{aire}}\sin90^\circ=1$

$\sin\hat\imath_L=\dfrac{1}{n_{\text{agua}}}=\dfrac{1}{1{,}33}=0{,}752$

$\hat\imath_L=48{,}8^\circ$

A partir de $48{,}8^\circ$ de incidencia desde el agua, el rayo entra en el material pero ya no consigue salir al aire: se refleja totalmente en la segunda cara.