Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2021

Un altavoz emite un sonido que se percibe a una distancia $d$ con un nivel de intensidad sonora de 70 dB.

a) Halle la intensidad sonora en ese punto. [1 punto]

b) Calcule el factor por el que debe incrementarse la distancia al altavoz para que el sonido se perciba con un nivel de intensidad sonora de 60 dB. [0,75 puntos]

c) Calcule el factor por el que debe incrementarse la potencia, para que a la distancia $d$ el sonido se perciba con un nivel de intensidad sonora de 80 dB. [0,75 puntos]

Datos: la mínima intensidad que puede percibir el oído humano es $I_0 = 10^{-12}\ \text{W}/\text{m}^2$; se siente dolor cuando la intensidad supera $1\ \text{W}/\text{m}^2$.

$\textbf{a) Halle la intensidad sonora en ese punto. [1 punto]}$










El nivel de intensidad sonora y la intensidad están ligados por la escala logarítmica:

$\beta=10\log\dfrac{I}{I_0}\Rightarrow I=I_0\cdot10^{\beta/10}$





$I=10^{-12}\cdot10^{70/10}=10^{-12}\cdot10^{7}$

$I=10^{-5}\ \text{W/m}^2$

$\textbf{b) Calcule el factor por el que debe incrementarse la distancia al altavoz para que el sonido se perciba con un nivel de intensidad sonora de 60 dB. [0,75 puntos]}$

Se calcula primero la intensidad que corresponde a 60 dB:

$I'=10^{-12}\cdot10^{6}=10^{-6}\ \text{W/m}^2$

La potencia del altavoz no cambia, así que la intensidad va con el inverso del cuadrado de la distancia:

$\dfrac{I}{I'}=\dfrac{d'^2}{d^2}\Rightarrow \dfrac{d'}{d}=\sqrt{\dfrac{I}{I'}}=\sqrt{\dfrac{10^{-5}}{10^{-6}}}$

$\dfrac{d'}{d}=\sqrt{10}=3{,}16$

Hay que alejarse hasta $3{,}16$ veces la distancia inicial. Bajar 10 dB significa dividir la intensidad por diez, y por tanto multiplicar la distancia por la raíz de diez.

$\textbf{c) Calcule el factor por el que debe incrementarse la potencia, para que a la distancia } \boldsymbol{d}\textbf{ el sonido se perciba con un nivel de intensidad sonora de 80 dB. [0,75 puntos]}$

Ahora la distancia es la misma y lo que cambia es la potencia. La intensidad que se busca es:

$I''=10^{-12}\cdot10^{8}=10^{-4}\ \text{W/m}^2$

A distancia fija la intensidad es proporcional a la potencia:

$\dfrac{P''}{P}=\dfrac{I''}{I}=\dfrac{10^{-4}}{10^{-5}}$

$\dfrac{P''}{P}=10$

Hay que multiplicar la potencia por diez. Es la lectura directa de la escala: cada 10 dB de subida corresponden a multiplicar por diez la intensidad y, a igual distancia, la potencia.