Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cantabria · 2021

El periodo de semidesintegración de un elemento radiactivo es de 12,32 años. Calcule:

a) La constante de desintegración y la vida media. [1 punto]

b) El tiempo transcurrido si una muestra del elemento radiactivo ha reducido su actividad al 10 % de su valor inicial. [1,5 puntos]

$\textbf{a) La constante de desintegración y la vida media. [1 punto]}$










El periodo de semidesintegración es el tiempo que ha de transcurrir para que quede la mitad de los núcleos:

$\dfrac{N_0}{2}=N_0\,e^{-\lambda T_{1/2}}\Rightarrow \lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$





$\lambda=\dfrac{\ln 2}{12{,}32}$

$\lambda=5{,}63\cdot10^{-2}\ \text{años}^{-1}$

La vida media es el tiempo que por término medio tarda un núcleo en desintegrarse, y es la inversa de la constante:

$\tau=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{5{,}626\cdot10^{-2}}$

$\tau=17{,}8\ \text{años}$

$\textbf{b) El tiempo transcurrido si una muestra del elemento radiactivo ha reducido su actividad al 10 \% de su valor inicial. [1,5 puntos]}$

La actividad sigue la misma ley exponencial que el número de núcleos, porque es proporcional a él:

$A=A_0\,e^{-\lambda t}$

Se impone la condición del enunciado y se toman logaritmos neperianos:

$0{,}1\,A_0=A_0\,e^{-\lambda t}\Rightarrow \ln 0{,}1=-\lambda t$

$t=\dfrac{\ln 10}{\lambda}=\dfrac{2{,}303}{5{,}626\cdot10^{-2}}$

$t=40{,}9\ \text{años}$

El resultado es coherente: en $40{,}9$ años caben algo más de tres periodos de semidesintegración, y tras tres periodos quedaría un octavo, un poco más del décimo pedido.