Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Cantabria · 2021

Al iluminar un metal en un experimento con luz monocromática, se obtiene que el potencial de frenado es de $-1{,}39\ \text{V}$. La frecuencia umbral de ese metal es $4{,}52\cdot 10^{14}\ \text{Hz}$. Calcule:

a) El trabajo de extracción. [0,5 puntos]

b) La velocidad máxima de los electrones emitidos. [1 punto]

c) La longitud de onda de la luz incidente. [1 punto]

Datos: constante de Planck, $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}/\text{s}$; masa del electrón, $m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$; carga del electrón, $q_e = -1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) El trabajo de extracción. [0,5 puntos]}$










La frecuencia umbral es la mínima que ha de tener la radiación para arrancar electrones: la de los fotones cuya energía es justo el trabajo de extracción.

$W_0=h\,f_0$





$W_0=6{,}63\cdot10^{-34}\cdot4{,}52\cdot10^{14}$

$W_0=3{,}00\cdot10^{-19}\ \text{J}=1{,}87\ \text{eV}$

$\textbf{b) La velocidad máxima de los electrones emitidos. [1 punto]}$

El potencial de frenado es el que hay que aplicar para detener a los electrones más rápidos, de modo que mide directamente su energía cinética máxima:

$E_{c,\max}=|q_e|\,|V_0|=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1{,}39=2{,}22\cdot10^{-19}\ \text{J}$

De ahí se despeja la velocidad:

$E_{c,\max}=\dfrac12\,m_e\,v^2\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{2\,E_{c,\max}}{m_e}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot2{,}224\cdot10^{-19}}{9{,}1\cdot10^{-31}}}$

$v=6{,}99\cdot10^{5}\ \text{m/s}$

Es una velocidad pequeña frente a la de la luz, así que no hace falta corregirla relativistamente.

$\textbf{c) La longitud de onda de la luz incidente. [1 punto]}$

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía del fotón es la suma del trabajo de extracción y la energía cinética máxima:

$E=W_0+E_{c,\max}=2{,}997\cdot10^{-19}+2{,}224\cdot10^{-19}=5{,}22\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Y de esa energía se obtiene la longitud de onda:

$E=h\dfrac{c}{\lambda}\Rightarrow \lambda=\dfrac{h\,c}{E}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{5{,}221\cdot10^{-19}}$

$\lambda=3{,}81\cdot10^{-7}\ \text{m}=381\ \text{nm}$

Se trata de luz ultravioleta cercana, justo en el límite del visible.