Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Un pequeño satélite de 1500 kg de masa, describe una órbita circular alrededor de Marte, a una altura de 5000 km sobre su superficie.

a) Calcule el periodo del movimiento orbital del satélite. [1 punto]

b) Calcule la energía cinética, la energía potencial gravitatoria y la energía total del satélite. [0,75 puntos]

c) ¿Cuánto pesaría el satélite en la superficie de Marte? ¿Y en la superficie de la Tierra? [0,75 puntos]

Datos: masa de Marte, $M_M = 6{,}4\cdot 10^{23}\ \text{kg}$; radio de Marte, $R_M = 3390\ \text{km}$; constante de gravitación universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_T = 6\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; radio de la Tierra, $R_T = 6370\ \text{km}$.

$\textbf{a) Calcule el periodo del movimiento orbital del satélite. [1 punto]}$










La atracción gravitatoria de Marte es la fuerza centrípeta de la órbita circular. De la segunda ley de Newton, escribiendo la velocidad en función del periodo, sale la tercera ley de Kepler:

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G\,M_M}}$





El radio de la órbita se mide desde el centro del planeta:

$r=R_M+h=3390+5000=8390\ \text{km}=8{,}39\cdot10^{6}\ \text{m}$

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{\left(8{,}39\cdot10^{6}\right)^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6{,}4\cdot10^{23}}}$

$T=2{,}34\cdot10^{4}\ \text{s}$

Es decir, unas $6{,}49$ horas.

$\textbf{b) Calcule la energía cinética, la energía potencial gravitatoria y la energía total del satélite. [0,75 puntos]}$

La velocidad orbital sale de igualar la fuerza gravitatoria a la centrípeta:

$v=\sqrt{\dfrac{G\,M_M}{r}}=\sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6{,}4\cdot10^{23}}{8{,}39\cdot10^{6}}}=2{,}26\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

$E_c=\dfrac12\,m\,v^2=\dfrac12\cdot1500\cdot(2{,}256\cdot10^{3})^2=3{,}82\cdot10^{9}\ \text{J}$

$E_p=-G\dfrac{M_M\,m}{r}=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6{,}4\cdot10^{23}\cdot1500}{8{,}39\cdot10^{6}}=-7{,}63\cdot10^{9}\ \text{J}$

$E=E_c+E_p=-3{,}82\cdot10^{9}\ \text{J}$

Como en toda órbita circular, la energía potencial es el doble de la cinética y de signo contrario.

$\textbf{c) ¿Cuánto pesaría el satélite en la superficie de Marte? ¿Y en la superficie de la Tierra? [0,75 puntos]}$

El peso es la fuerza con que el planeta atrae al cuerpo situado en su superficie:

$P=m\,g=m\,G\dfrac{M}{R^2}$

En Marte:

$g_M=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6{,}4\cdot10^{23}}{\left(3{,}39\cdot10^{6}\right)^2}=3{,}71\ \text{m/s}^2$

$P_M=1500\cdot3{,}715=5{,}57\cdot10^{3}\ \text{N}$

Y en la Tierra:

$g_T=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{\left(6{,}37\cdot10^{6}\right)^2}=9{,}86\ \text{m/s}^2$

$P_T=1500\cdot9{,}863=1{,}48\cdot10^{4}\ \text{N}$

El mismo satélite pesaría en Marte poco más de un tercio de lo que pesa en la Tierra, aunque su masa siga siendo de 1500 kg en los dos sitios.