Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Dos masas idénticas, de 1000 kg, están situadas en los puntos $(0,-2)$ y $(0,+2)$. Todas las distancias se dan en metros.

a) Calcule y represente gráficamente el vector campo gravitatorio en el punto $(+2,0)$, así como la fuerza gravitatoria que experimenta una masa de 10 kg situada en ese punto. [1 punto]

b) Calcule el potencial gravitatorio en los puntos $(+2,0)$ y $(-4,0)$ debido a las dos masas de 1000 kg. [0,75 puntos]

c) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre una masa de 2 kg cuando se desplaza desde el punto $(+2,0)$ hasta el punto $(-4,0)$. [0,75 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule y represente gráficamente el vector campo gravitatorio en el punto } \boldsymbol{(+2,0)}\textbf{, así como la fuerza gravitatoria que experimenta una masa de 10 kg situada en ese punto. [1 punto]}$










El campo gravitatorio creado por una masa puntual se dirige siempre hacia ella:

$\vec g=-G\dfrac{m}{r^2}\,\vec u_r$

El punto está en la mediatriz del segmento que une las dos masas, así que dista lo mismo de ambas.





$r=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2=2{,}83\ \text{m}\Rightarrow r^2=8\ \text{m}^2$

$g_1=g_2=G\dfrac{m}{r^2}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{1000}{8}=8{,}34\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}$

Cada campo forma $45^\circ$ con el eje $x$, uno hacia arriba y el otro hacia abajo. Al sumarlos, las componentes verticales se cancelan por simetría y las horizontales se suman:

$\vec g=-2\,g_1\cos45^\circ\,\vec\imath=-2\cdot8{,}34\cdot10^{-9}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\,\vec\imath$

$\vec g=-1{,}18\cdot10^{-8}\,\vec\imath\ \text{N/kg}$

La fuerza sobre una masa de 10 kg situada ahí es:

$\vec F=m\,\vec g=10\cdot\left(-1{,}179\cdot10^{-8}\right)\vec\imath$

$\vec F=-1{,}18\cdot10^{-7}\,\vec\imath\ \text{N}$

$\textbf{b) Calcule el potencial gravitatorio en los puntos } \boldsymbol{(+2,0)}\textbf{ y } \boldsymbol{(-4,0)}\textbf{ debido a las dos masas de 1000 kg. [0,75 puntos]}$

El potencial es una magnitud escalar y las dos masas están siempre a la misma distancia de los puntos del eje $x$, por simetría:

$V=-G\dfrac{2m}{r}$

En el punto $(+2,0)$, con $r=2\sqrt2=2{,}83\ \text{m}$:

$V(2,0)=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{2000}{2{,}828}$

$V(2,0)=-4{,}72\cdot10^{-8}\ \text{J/kg}$

En el punto $(-4,0)$ la distancia a cada masa es:

$r'=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=4{,}47\ \text{m}$

$V(-4,0)=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{2000}{4{,}472}$

$V(-4,0)=-2{,}98\cdot10^{-8}\ \text{J/kg}$

$\textbf{c) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre una masa de 2 kg cuando se desplaza desde el punto } \boldsymbol{(+2,0)}\textbf{ hasta el punto } \boldsymbol{(-4,0)}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Al ser el campo gravitatorio conservativo, el trabajo se obtiene de la diferencia de potenciales:

$W=m\left(V_{\text{inicial}}-V_{\text{final}}\right)=2\left(-4{,}716\cdot10^{-8}+2{,}983\cdot10^{-8}\right)$

$W=-3{,}47\cdot10^{-8}\ \text{J}$

El trabajo es negativo porque el punto de llegada está más lejos de las masas: el campo, siempre atractivo, se opone al desplazamiento y hay que aportar esa energía desde fuera.