Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Cantabria · 2021

Una lámina de caras planas y paralelas de 5 cm de espesor e índice de refracción $n_2 = 1{,}5$ se encuentra entre dos materiales de índices de refracción $n_1 = 1{,}2$ y $n_3 = 1$. Un rayo de luz monocromática de $5\cdot 10^{14}\ \text{Hz}$ de frecuencia, incide desde el medio 1 en la lámina, con un ángulo de 30° respecto a la normal. Calcule:

a) La longitud de onda del rayo en la lámina. [0,5 puntos]

b) Los dos ángulos de refracción, con un dibujo explicativo. [1 punto]

c) El ángulo límite de entrada a la lámina para que salga el rayo al tercer medio. [1 punto]

Dato: velocidad de la luz en el vacío, $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}/\text{s}$.

$\textbf{a) La longitud de onda del rayo en la lámina. [0,5 puntos]}$










Al cambiar de medio la frecuencia no varía, porque la impone el foco emisor; lo que cambian son la velocidad y la longitud de onda:

$v=\dfrac{c}{n}\qquad \lambda=\dfrac{v}{f}$





La velocidad de la luz dentro de la lámina es:

$v_2=\dfrac{c}{n_2}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{1{,}5}=2\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

$\lambda_2=\dfrac{v_2}{f}=\dfrac{2\cdot10^{8}}{5\cdot10^{14}}$

$\lambda_2=4\cdot10^{-7}\ \text{m}=400\ \text{nm}$

$\textbf{b) Los dos ángulos de refracción, con un dibujo explicativo. [1 punto]}$

Se aplica la ley de Snell en cada una de las dos caras. En la primera, al pasar del medio 1 a la lámina:

$n_1\sin30^\circ=n_2\sin\hat r_1$

$\sin\hat r_1=\dfrac{1{,}2\cdot0{,}5}{1{,}5}=0{,}4\Rightarrow \hat r_1=23{,}6^\circ$

En la segunda cara el ángulo de incidencia es ese mismo $\hat r_1$, porque las caras son paralelas:

$n_2\sin\hat r_1=n_3\sin\hat r_2$

$\sin\hat r_2=1{,}5\cdot0{,}4=0{,}6\Rightarrow \hat r_2=36{,}9^\circ$

El rayo se acerca a la normal al entrar en la lámina, que es más densa ópticamente, y se aleja de ella al salir al tercer medio, que es el menos denso de los tres.

$\textbf{c) El ángulo límite de entrada a la lámina para que salga el rayo al tercer medio. [1 punto]}$

El caso límite es aquel en el que el rayo emerge rasante al tercer medio, es decir, con $\hat r_2=90^\circ$. Encadenando las dos aplicaciones de la ley de Snell, la lámina actúa solo de intermediario:

$n_1\sin\hat\imath_L=n_2\sin\hat r_1=n_3\sin90^\circ=1$

$\sin\hat\imath_L=\dfrac{1}{n_1}=\dfrac{1}{1{,}2}=0{,}833$

$\hat\imath_L=56{,}4^\circ$

Para ángulos de incidencia mayores de $56{,}4^\circ$ el rayo se queda atrapado: se refracta al entrar en la lámina, pero en la segunda cara sufre reflexión total y no llega a salir al tercer medio.